一、质数、倍数、倍数、约数、整除问题
1、质数（素数）
① 只有1和它本身两个约数的整数称为质数；
② 100以内质数共25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；
③ 最小的偶合数是4，最小的奇合数是9；
④ 0、1既不是质数也不是合数。
⑤ 每一个合数分解质因数形式是唯一的。
⑥ 公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。
2、倍数、约数性质
① 一个数最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数；
② “0”没有约数和倍数，一般认为“1”只有约数“1”；
③ 假如几个数都是某一个数的倍数，那么这几个数的组合也是某个数的倍数。
例如：26、39是13的倍数，则2639也是13的倍数。
④ 一般的数字的约数的个数都是偶数个，但是平方数的约数个数是奇数个。
例如：“9”有3个约数（1、3、9），“16”有5个约数（1、二、4、8、16）。
⑤ 约数和倍数必须强调出是哪个数字的约数和倍数。
⑥ 一个数既是它本身的倍数又是它本身的约数。
⑦ 一个数如果有偶约数，则这个数必为偶数。
3、整除性质
① 能被“2”整除的数的特点：末尾数字是“0、2、4、6、8”；
② 能被“3（9）”整除的数的特点：各位上数字和能被“3（9）”整除；
③ 能被“4（25）”整除的数的特点：末尾两位能被“4（25）”整除；
④ 能被“5”整除的数的特点：末尾数字是“0或5”；
⑤ 能被“8（125）”整除的数的特点：这个数末三位能被“8（125）”整除；
⑥ 能被“7、11、13”整除的数的特点：这个数从右向左每三位分成一节，用奇数节的和减去偶数节的和，所得到的差能被“7、11、13”整除。如果求余数时，则奇数节和小于偶数节和时，需要将奇数节和加上若干个“7、11、13”，再相减。
⑦ 能被“11”整除的数的另一个特点：这个数奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。例如：“122518”分析：奇数位数字和1 2 1=4，偶数位数字和2 5 8=15，差为11，说明这个数可以被11整除。如果求余数时，则奇数位数字和小于偶数位数字和时，需要将奇数位和加上若干个“11”，再相减。
二、公约数、公倍数
1、最大公约数：公有质因数的乘积。通常用“（ ）”表示。
2、最小公倍数：公有质因数和独有公因数的连乘积。用“[ ]”表示。
3、两个自然数的最小公约数和最大公倍数的乘积=两个自然数的乘积
4、如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。
5、如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。
6、两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。
▲7、根据互质数的意义，相邻的自然数是互质数，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
8、解题思路和方法
（1）求公约数和公倍数一般采用短除法。
（2）对于比较大的两个数求最大公约数（最大公约数一般大于11），也可以采用辗转相除法。辗转相除法步骤：用大数（被除数）除以小数（除数）得到余数，所求最大公约数就是除数与余数的最大公约数，再次相除，依次类推，直到余数为0，最后一个除数既是所求的最大公约数。注意：用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。
例：求319、377的最大公约数，即求（319，377）。
解：利用辗转相除法
（319,377）=（377,319）
377÷319=1余58 （377,319）=（319,58）
319÷58=5余29 （319,58）=（58,29）
58÷29=2余0 （58,29）=29
所以（319,377）=29
三、和差、和倍
1、和差：已知两个数的和与差，求这两个数各是多少，这类应用题叫和差问题（已知顺水和逆水速度求船速和水速）。
数量关系：大数=（和 差）÷2；小数=（和-差）÷2
2、和倍：有两个数的和及大数是小数的几倍（或者小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
数量关系：两个数的和÷（几倍 1）=较小的数；较小的数×倍数=较大的数
四、差倍、倍比
1、差倍：有两个数的差及大数是小数的几倍（或者小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
数量关系：两个数的差÷（几倍-1）=较小的数；较小的数×倍数=较大的数
2、倍比：有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
数量关系：总量÷一个数量=倍数；另一个数量×倍数=另一总量
