一、向量的有关概念

（一）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).数量只有大小没有方向。

（二）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.记作0.

（三）单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量的方向不确定，且有无数个。

（四）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.记作a∥b.

规定：0与任一向量平行.

（五）相等向量：长度相等且方向相同的向量.记作a=b.

（六）相反向量：长度相等且方向相反的向量.a b=0.

二、向量的线性运算

（一）加法，求两个向量和的运算，可利用三角形法则和平行四边形法则运算。

运算律：

(1)交换律：a＋b＝b＋a.

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

（二）减法，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

运算律：a－b＝a＋(－b)

（三）数乘，求实数λ与向量a的积的运算.

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0.

运算律：

λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb.

三、向量共线定理

量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

1.平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则

a＋b＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，a－b＝(x₁－x₂，y₁－y₂)，λa＝(λx₁，λy₁)，

|a|＝=.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB=（x₂－x₁，y₂－y₁），

∣AB∣=

4.平面向量共线的坐标表示

设a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则a∥b⇔x₁y₂－x₂y₁＝0.

四、平面向量数量积的有关概念

1.有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cosθ.

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，θ为向量a，b的夹角.

（1）数量积：a·b＝|a||b|cosθ=x₁x₂ y₁y₂.

（2）模：∣a∣==.

（3）夹角：cosθ=。

（4）两非零向量a⊥b的充要条件：a·b=0x₁x₂ y₁y₂=0.

（5）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣（当且仅当a∥b时等号成立）∣xx yy∣≤.

3.正余弦定理