题目3：如图1，设P是正方形ABCD外接圆劣弧AB上的一点，求证（AP BP）/（CP DP）的值为定值。

解题思路：图2,连接AC、DB，设正方形边长为x，则

AB=AD=BC=DC=x，AC=DB=√2 x。

在圆内接四边形APCD中，根据托勒密定理可得：

（AP CP）/DP=√2；

在四边形PBCD中，同理可得：（BP DP）/CP=√2；

即（AP CP）/DP=（BP DP）/CP=√2；

根据等比性质：

（AP CP BP DP）/（DP CP）

=（AP BP）/（DP CP） （DP CP）/（DP CP）

=（AP BP）/（DP CP） 1=√2；

（AP BP）/（DP CP）=√2 – 1。

所以（AP BP）/（CP DP）=√2 – 1，为定值。

题目4：图1，已知P是等边三角形ABC内任意一点，过P作三角形三边的垂线PD、PE、PF，D、E、F是垂足，求证：（PD PE PF）/（AB BC CA）为定值。

解题思路：先复习相关知识点①等边三角形的高等于边长的√3/2倍；②等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于这个三角形一边上的高。

设等边三角形ABC的边长为X，边长上的高为H，则

PD PE PF=H=√3/2 X。

（PD PE PF）/（AB BC CA）=（√3/2 X）/3X

=√3/6,为定值。

题目5：如图，设O为三角形ABC内任意一点，AO、BO、CO的延长线分别交对边于A＇、B＇、C＇。

求证：AO/A A＇ BO/B B＇ CO/C C＇为定值。