一、函数的连续性

（1）函数连续的定义：

设在的某邻域内有定义。如果对任意的，总存在正数，使当（相较极限定义中，少了左半边大于的部分，这样保证了可以取值为，即存在）时，不等式，对比极限定义，有，恰好证明了函数在点连续。

（2）函数单侧连续的定义：

如果函数 f(x) 左极限存在且等于，则称在点左连续；如果右极限存在且等于，则称于点右连续。

注：①函数在一点连续的充要条件是在该点处既左连续又右连续。

② 如果函数在开区间内每一点连续，则称是开区间上的连续函数，或称在开区间上连续；函数在闭区间连续，是指在开区间连续，且于左端点右连续，右端点左连续。

二、闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)，有以下几个基本性质：