我经常听到人们讲，是因为观察者通过光子和电子发生相互作用使光子的动量受到了影响，所以才导致了海森堡不确定性原理。

观察者必须通过影响电子的动量（或一些量子态）来观察它，这或许是真的，但这不是导致不确定性原理的真正原因！

在开始讨论这个话题之前，让我们先定义海森堡不确定性原理(Heisenberg’s uncertainty principle)。

在量子力学中，存在一系列关于共轭物理量（如位置和动量）的不等式，它们限制了同时测量这些成对物理量的精度，这些不等式中的任意一个都可以被称为不确定性原理（或是海森堡不确定性原理）。

-维基百科

一种常见的表述方式是，在任何给定的时间点，你都无法同时准确地测量粒子的动量和位置。

这种不确定性不取决于设备的好坏，也不是因为很难消除测量误差。无论我们做得多好，我们都无法同时精确测量这两个量（如动量和能量）…

首先，存在许多种不确定性原理，其中不少能在宏观世界中看到。即使你没有意识到它们的存在，但其实也一直在和这些现象打交道。

其次，海森堡不确定性原理背后与数学有着密切的关系。

所有波和物质（共轭变量）都必须遵从一系列的不确定性原理，真正导出这些原理的是一个数学事实（稍后详述）。

音乐、雷达技术、能源技术和光也有必须遵守的“不确定性原理”，我们很快就会看到，是数学决定了这一切。

波

一切都可以归结为非常简单的事情。无论多复杂的的信号或函数，实际上都是正弦波的叠加。正弦波是具有特定波长和振幅的波。

叠加仅仅意味着所有的波相互作用，所有波的和（称为干涉）就是构成更复杂信号的叠加。

也就是说，我们可以将一个函数分解为组成它的更简单的部分（正弦波）。这几乎就是我们在计算傅里叶级数的傅里叶系数时所要做的一切。值得的一提的是，这个方法对于非周期函数同样适用。

这种效果在音乐中是众所周知的，例如，吉他生中的泛音会干扰主波（弦的频率）。也就是说，吉他的声音（以及任何其他乐器，包括你的声音）是由频率和振幅不同的正弦波组成的。

当我们描述这样一个复杂的信号时，我们有两种等价的方式可以选择。也就是说，我们可以选择两种不同的单位对它进行描述。

我们可以选择用时间来描述产生干涉图样的所有波是如何同时相互作用的，也可以选择用构成干涉图样的正弦波的频率来描述它。

可以用两种等效的方式来描述的事件被称为双重关系（dual relationship）。

如果我们可以找到一个数学工具来描述时间信号和频率信号之间的双重关系，那当然再好不过。事实上，我们确实找到了这样的工具。

傅里叶变换

我上面提到的描述这种双重关系的工具叫做傅里叶变换(Fourier transform)。毫无疑问，它是数学工具中最强大、最常用的工具之一。

在给出它的一些特性之前，我们先讲一讲这种傅里叶变换的一些一般性质：

傅里叶变换是一种积分变换（也就是一个算符），它拿到一个函数并返回另一个函数。

作为函数空间上的一个算符，我们可以把它看作是纯数学的客体，但我们可以赋予它很好的物理解释。在物理和数学领域，我们都可以使用它。

今天，我们主要将从物理学的角度来考虑它。

在下面的讨论中，我们假设积分始终收敛。

令

是一个可积函数。f的傅里叶变换由以下积分给出：

如果f表示声波随时间的变化，那么f傅里叶变换的结果表示构成声波的频率，因此f也可以看做是频率的函数。

下面的动图显示了声波（图中是单位脉冲信号）是如何由许多正弦波组成的，正弦波的叠加产生了sinc函数，即