幂运算法则的逆向运用

幂运算法则指的是：

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a^m×a^n=a^(m n)；

（2）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a^m÷a^n=a^(m-n)；

（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a^m)^n=a^(mn)；

（4）积的乘方等于乘方的积，(ab)^n=a^nb^n.

逆向运用这些法则就是：

（1）a^(m n)=a^m×a^n，即指数和的幂等于同底数幂的积；

（2）a^(m-n)=a^m÷a^n；即指数差的幂等于同底数幂的商；

（3）a^(mn)=(a^m)^n；即指数积的幂等于幂的乘方；

（4）a^nb^n=(ab)^n，即同指数幂的积等于积的幂.

逆向运用幂运算法则可以解决一些具有一定难度的幂的问题.请看：

例1 已知2^a=6，2^b=3，

则2a-b 2=______.

分析与解：逆向运用幂运算法则，得：

2^(a-b 2)=2^a÷2^b×2^2=6÷3×4=8.

例2（2021·广东中考题）

已知9^m=3，27^n=4，

则3^(2m 3n)=（ ）

A．1 B．6 C．7 D．12

分析与解：3^(2m 3n)是指数积与和的幂，逆向运用幂的运算法则，把它化为幂的乘方及幂的乘积，得：

3^(2m 3n)=3^(2m)×3^(3n)

=(3^2)^m×(3^3)^n

=9^m×27^n=3×4=12，

故选D.

例3（2021·四川达州中考题）

已知a，b满足等式

a^2 6a 9 √(b-1/3)=0，

则a^2021b^2020=___________．

分析与解：将已知等式变形，化为

(a 3)^2 √(b-1/3)=0，

由非负数性质，得：

a=-3，b=1/3，所以ab=-1，

所以a^2021b^2020=a×a^2020b^2020

=a×(ab)^2020=（-3）×(-1)^2020=-3.

例4 如果2^a=6，2^b=3，

则a-b等于（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析与解：因为a，b是幂的指数，欲求a-b的值，先考虑构造一个指数为a-b的幂，由于已知幂的底数为2，所以构造底数为2，指数为a-b的幂，然后再求它的值.

由已知，得：

2^(a-b)=2^a÷2^b=6÷3=2，

即2a-b=2，

比较两边的指数，得：a-b=1，

故选A.

例5 已知a^x=ab^2，a^y=a^2/b，

则x 2y的值等于_________.

分析与解：构造一个以a为底数，x 2y为指数的幂，得：

a^(x 2y)=a^x×a^(2y)

=ab^2×(a^y)^2

=ab^2×a^4/b^2=a^5，

即a^(x 2y)=a^5，

比较两边的指数，得：x 2y=5.

例6 已知3^x=108，3^y=6，则x，y满足的关系式是（ ）

A.x-y=1 B.x-y=2

C.x-2y=1 D.x-2y=2

分析与解：依次构造以3为底，指数分别为x-y，x-2y的幂，再逆向运用幂的运算法则进行计算.

3^(x-y)=3^x÷3^y

=108÷6=18≠31，≠32，

所以x-y≠1，≠2，

可排除A和B；

3^(x-2y)=3^x÷3^(2y)=108÷(3^y)2

=108÷6^2=3=3^1，

所以2x-y=1，故选C.

例7 已知5^m=100，5^n=40，则m，n满足的关系式是_______________.

分析与解：构造一个以5为底的幂，该幂经过计算后能够得到一个仍然是以5为底的幂，然后通过比较幂的指数而获解.显然，这样的幂只能来自已知的两个等式相除，约去所有非5的因数而获得.

由于100含有非5的因数2^2，40含有非5的因数2^3，它们相除后要能够约掉，必须是把2^2立方，把2^3平方，因此，

把5^m=100=2^2×5^2的两边立方，得：

5^(3m)=2^6×5^6，

把5^n=40=2^3×5的两边平方，得：

5^(2n)=2^6×5^2，

所以5^(3m-2n)

=5^(3m)÷5^(2n)

=2^6×5^6÷（2^6×5^2）

=5^4，

即5^(3m-2n)=5^4，

所有m，n满足的关系式是3m-2n=4.