一般地，函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。

常见的一类指数函数的底(e为自然常数，即等于)，即。

上式中的自变量为实数。后来，数学家们将自变量的取值范围延拓到复数域，则指数函数变为，其中自变量为复数。当时，，这就是著名的欧拉恒等式。

那么，当自变量为矩阵时，是个什么情况？

我们假定有这样一个参数微分方程组：

不难发现该方程组的一组特解是圆的方程：

上述微分方程组用矩阵形式表示为：

也即

其中矩阵

这个方程进一步表示为

将视为一个变量，采用分离变量法解该微分方程，得到

也即

这样就求得

也即

带入值后，变成了

我们得到了一个非常简洁的指数为矩阵的指数函数！

通常的可以理解为，可以理解为，。如果指数不是整数但是有理数时，则指数可以用分数来表示，如可以理解为。如果指数是无理数，则如何理解呢？

这个时候，需要借助泰勒级数这个超级数学工具：

这个级数对复数也成立，也即

如果将该公式的指数推广到矩阵，则应该得到

上式中，表示为个矩阵的乘积。当为零时，为单位矩阵。

我们根据上述延拓到矩阵指数的泰勒技术计算一下时的值。带入公式得到

计算如下值并带入上式：

其中

...

得到