将各项的矩阵相加，进一步得到

我们发现上述等式右边的2×2矩阵，正好与正弦、余弦的泰勒公式对应：

这样，我们就推导出

令，则得

也即

这个式子与欧拉恒等式

完全对称：

• 为单位矩阵，与实数或复数域的对应；
• 矩阵与虚数单位对应。由于，我们发现，也即；

如果记为，则（矩阵的平方为负单位矩阵！！！），矩阵为虚单位矩阵。则我们得到非常优雅的矩阵域的欧拉恒等式：

此外，与也有类似的性质：

同样的，借鉴，我们可以将前面推导出来的结论：

修改为矩阵领域的欧拉公式：

因为：

,

这里，我们不得不惊叹于数学的完美！！！

用GeoGebra验证矩阵指数的泰勒公式，结果正确：

我们在试着求一下的值：

极氪001

再来验算一下时，用泰勒公式计算的值：