佩克莱数表征了对流和扩散的强度之比，而对流扩散方程则在数学上描述了对流扩散现象。如下图所示，对流扩散方程可拆解为对流方程和扩散方程，其中的φ为某一物理量，u代表了流动的速率，α代表了扩散速率。而对于传热问题，φ表示温度，α则表示热扩散系数，被输运的对象便是热量。

而如果把对流扩散方程中的α转化为粘度μ，并把被输运的物理量指定为动量，再加入压力的影响，那么一维对流扩散方程就变成了沿x方向上的动量方程。小伙伴们是不是感觉这个方程很眼熟？

没错，这就是忽略外力条件下的不可压缩N-S方程的一维形式。N-S方程可以理解为一个特殊的对流扩散方程，而此时流动所输运的恰恰是动量本身。而作为流体力学的葵花宝典，N-S方程中最痛的一刀就是方程的第二项，即输运速度自己。

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无处不在的雷诺数

当然，对流和扩散还有另外一个小秘密。如果从时间的尺度研究对流和扩散，会得到更加有趣的关系。前面解释过，对流可以描述为流体的平均运动，因此对流的时间尺度可以描述为物理特征尺度和气流速度之比，而扩散的时间尺度则可以通过物理特征尺度和运动粘度来描述。假如我们把这两个时间相比，奇妙的事情便发生了，它们之间的比值恰恰是雷诺数Re的定义！

小伙伴们应该还记得雷诺数起源于经典的流动染色实验：当流体的物理尺度或流速增加，或流体的粘性减小时，流体的流态更趋向于某种混乱无规则的状态。

随后很长一段时间，众多学者沿着雷诺的足迹开始研究湍流的触发机理，却一直没有答案，直到1908年，恰逢第四届国际数学大会，索末菲将计就计，将他对流动稳定性和湍流触发机理的思考写成文章，并在历史上第一次明确以“雷诺数”命名这个神奇的无量纲数。

我们都知道雷诺数表示惯性力和粘性力的比值，当雷诺数很大时，则意味着粘性力对流动的影响很小，流体可以自由的流动，而当雷诺数很小时，则意味着粘性力占优。而从流体输运的角度出发，我们还能领会到扩散时间和对流时间的此消彼长。当雷诺数很大时，意味着扩散时间远远大于对流时间，对流的效应碾压了扩散，扩散也就渐渐被忽略了。

既然前面提到了流体力学中最重要的无量纲数Re和运动方程N-S方程，那么它们俩之间又要怎样的关系呢？公众号再次发扬“人狠话不多”的精神，直接推导不可压缩N-S方程的无量纲形式，如下图所示。