即V F-E=2。

下面来看一看它的一些应用。

例1， 正多面体的每个面都是正n边形，顶点数是V，棱数为E，面数是F，每个顶点连的棱数是m，则它们之间不正确的关系是

(A)mF=2E; (B) mV=2E; (C)nF=2E; (D)V F=2 E

分析： 选项(D)即为欧拉公式,正确。

考虑正四面体，V=4，F=4，E=6,n=3,m=3这时四个选项全部正确；

考虑正六面体（正方体）V=8，F=6，E=12,n=4,m=3, 这时只有（A）不正确。

例2 , 用相隔10度的经线和相隔10度的纬线将地球分割成若干部分，将各部分球面看成平面，得到一个凸多面体，求这个凸多面体的顶点数V、面数F、棱数E。

分析： 按此分法，共有17个纬度圈、1个北极点、1个南极点，共有18条经线，每条经线与17条纬度圈的每一圈有2个交点、与17条纬度圈检有36个交点，这样17条纬度圈 与18条经线共有17×36个交点，再加上两个极点，共有

个交点。

17条纬度圈把球面分成18部分，每部分又被18条经线分成36个表面，共得18×36=648个表面，即F=648。再由欧拉公式V F-E=2得棱数E=1260。

例3, 已知多面体的每个面都是五边形，每个顶点出发的棱数都是3，求它的面数、顶点数、棱数。

分析: 每个面有5条边，一共有5F条边，得E=5F/2。每个顶点出发的棱数都是3，得E=3V/2。代入欧拉公式V F-E=2得E=30，V=20，F=12，即所求面数F=12、顶点V=20、棱数E=30。

例4 , 以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，求它们的表面积之比。

分析: 如图1，这个正八面体也可以看成由正方形底面重合的两个正四棱锥拼接面成的几何体,如图2。设原来正六面体边长为1，