这种数据格式就不是原始的数据，而是经过分组整理了，使用加权算术平均数计算，公式：

• 极端值情况

从公式可以看出，平均值的计算与样本的每一个数值都有关，所以比较有代表性，但是在数据没有极端值的情况下，如果出现极端值，平均数就有可能不足以代表大多数样本个案的性质。

比如，一个班的五位学生考试成绩分别为：10 70 80 90 100。

根据数据格式，算一下它的算术平均值：

M（5位学生）=（10 70 80 90 100）/5

=70

这五位学生的算术平均值是70分，观察原始数据，有四位学生的分数大于或等于70分，只有一位学生分数低于70分，判断出来，用70分来代表这组数据的集中情形是不恰当的。再观察原始数据，是10这个极端值，一下拉低了整个平均分，所以我们去掉这个10分的考试成绩再算一下剩下四位学生的算术平均值：

M（四位学生）= （70 80 90 100）/4

=85

85分就可以比较好的代表4位学生的集中趋势了，两位同学分数低于85，两位高于85分。

③中位数

中位数是样本数据升序排列后的最中间的数值，如果数据偏离较大，一般用中位数描述整体水平情况。

中位数的计算分两种情况：

• 当数据个数为奇数时，中位数即最中间的数，如果有N个数，则中间数的位置为(N 1)/2

比如，一个班的5位学生的成绩分别为：30 70 40 50 80，中位数是什么呢？

①先把这五个分数从小到大排序：30 40 50 70 80。

②算出中位数应该在排序后的数列中的位置：（5 1）/2=3。

③所以中位数就正好是处在第三个位置的分数值，即50。

• 当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均值，中间位置的算法是(N 1)/2。

比如，一个班有六位学生，考试成绩分别是：30 70 80 40 90 60，中位数是什么呢？

①先把这五个分数从小到大排序：30 40 60 70 80 90。

②算出中位数应该在排序后的数列中的位置：（6 1）=3.5。

③因为位置必须是整数，但现在是小数，所以为了公平，把在3.5左右两个位置（第三位和第四位）都拿出来。取两个位置的分数值的平均值作为中位数：（60 70）/2=65。

从中位数的计算方法可以看出，它和每个数据的位置有关系，所以如果有极端值出现，无论是特别大或特别小的极端值，都会因为对所有样本数据排序的这个动作，而被排列到某个数列的两端去，它不会有机会被排序到中间位置，而中位数是最中间位置的数，所以极端值不会影响到中位数，这样当有极端值出现，我们无法用平均值很好的描述数据情况，就可以使用中位数。

（2）离散趋势

①极差（全距）

极差的计算很简单，极差等于最大值减最小值，因为计算简单，概念清晰，所以应用比较广泛。

比如，有一组同龄男孩的身高（cm）分别为：90 95 100 105 110，算出极差。

①首先找出最大值和最小值：90,110

②极差等于最大值减去最小值：110-90=20

• 易受极端值影响

既然极差这个值是由一组数据中的最大值和最小值来确定的。相应的就需要考虑一个问题，数据的最大最小值是正常数据，算下来的极差对分析数据的离散特征的确是有意义的；但假如数据存在极端值，极差会受到影响。

②四分位数

四分位数是把全部数据从小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值，即为四分位数：

• 上四分位数（数据从小到大排列排在第75%的数字，即最大的四分位数）

• 下四分位数（数据从小到大排列排在第25%位置的数字，即最小的四分位数）

• 中间的四分位数即为中位数

四分位数可以很容易地识别异常值。多应用于统计图中的箱线图绘制，箱线图就是根据四分位数做的图。

四分位数和中位数的计算方法一样，不同是中位数要找的是位于排序数列被分为两半后最中间的数，四分位数要找的是数据被分为四段，从左到右在1/4处的数和从右到左找在1/4处的数。

③方差与标准差

方差是每个数据值与全体数据的平均数差的平方的平均数。标准差是对方差开方。方差与标准方差与标准差反映一组数据的平均离散水平。方差小，表示数据集比较集中，波动性小，方差大，表示数据集比较分散，波动性大。

• 方差计算公式：

• 标准差是方差的正平方根：