正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方还是0，所以不可能存在一个数的平方等于-1。如果事实如此的话，那结果就不尽完美了，对于开方运算，实数并不具备封闭性。对于高次方程，结果可能是灾难性的。

数学家怎么会允许这样的遗憾发生，之前没有，并不代表不存在，就像负数一样，也许此刻我们眼中的虚数就像数百年前人眼中的负数一样。

1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》中说道：“负数开平方是不可思议”，并且他创造一名字“imaginary number”（虚数），意思为“虚幻之数”。但后来他改变了看法，正确认识了虚数的存在，把“虚幻之数”改为“虚数”，与“实数”相对应。“虚数”因此得名，沿用至今。

140年后，欧拉首次创用符号“i”来表示根号-1，即我们所说的虚数单位。

定义：i²=-1，形如：a bi（a≠0）的数叫做虚数，其中a,b是实数。

虚数与实数构成的集合叫做复数。复数的一般形式为：a bi

a叫做实数部分，bi称为虚数部分，当b=0时为实数，当a=0时称为纯虚数。

虽然有了虚数个概念，但虚数到底是什么？是不是只是纯粹臆想出来，照这么操作，是不是也可以定义一个w使得1/0=w？

我们先来解释其存在的合理性。

创造新的数的必要条件是，一定要适用于我们现有的运算系统。

考虑对任意两复数作加法，会有：

考虑对任意两复数作乘法，会有：

考虑对任意两复数作除法，会有：