反比例函数图象性质，用熟了哪还有难题？

在反比例函数章节学习中，对于双曲线的图象性质，讲的用的最多的就是双曲线上一点，向坐标轴作垂线，它们围成的矩形面积恰好是|k|，以及由此衍生的无数变式题。而在这个点上，再附加一些别的有趣条件，则可变出更有意思的题目，看上去很难，实际上，嗯，对有些同学仍然很难，但我们需要通过学习让它变简单。

题目

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=6/x(x>0)上一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x，y轴分别交于点A，B

(1)判断点P是否在线段AB上，并说明理由；

(2)求△AOB的面积；

(3)Q是反比例函数y=6/x(x>0)上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO为半径画圆，与x，y轴分别交于点M，N，连接AN，BM，求证：AN∥BM

解析：

(1)对于圆P来讲，∠AOB是它的圆周角，因此，90°的圆周角所对的弦是直径，则P一定在线段AB上；

(2)如果在其它函数中求，基本上是表示出A，B两点坐标，然后面积公式的套路，但是在反比例函数中，双曲线上的点，利用图象性质就明显快捷多了，如下图：

过点P分别作PE⊥x轴，PF⊥y轴，根据反比例函数图象性质，四边形PEOF的面积为6，此外，由于点P作为圆心，又在直径AB上，它的另一重身份是斜边AB上中点，于是顺带着垂线PE和PF也有了第二重身份，三角形的中位线，于是OP=BP=AP，得到等腰△BOP和等腰△AOP，再加上PE和PF分别是它们的对称轴，因此△BFP与△OFP面积相同，△OPE与△APE面积相同，这样，整个△AOB的面积即为矩形PEOF面积的2倍，等于12；

(3)解决本小题的第一大难点是作图，毕竟读懂题目条件，尤其是作图条件，对于不少学生来讲依然不容易，另在双曲线上取一点Q，以OQ为半径作圆，如下图：

在作图的过程中，必须想到，其实Q点与P点在性质上并无本质区别，并且这二者均没有确定在双曲线上某个位置，只能用字母参数表示它们的坐标，于是设点P(p,6/p)，Q(q,6/q)，请注意点A，B与点P的坐标之间的数量关系，可在第2小题得到的中位线基础上，得到A(2p,0)，B(0,12/p)，同理M(2q,0)，N(0,12/q)，然后我们分别在Rt△AON和Rt△MOB中，求∠OAN和∠OMB的正切值，推导如下：

解题反思：

在第2小题中，涉及到的几何定理较多，有矩形对角线将矩形分成两个全等的三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的判定与性质，轴对称，等腰三角形三线合一等，并且在第3小题中，依然起到了关键作用，那么，如果在思考过程中遇到卡顿，则意味着上述定理中，至少有1-2个不熟悉，突破口往往就在它们身上。而在证明方法的选择上，平行线的证明有很多种方法，在坐标系中，经常用到的是求出它们所在直线的一次函数表达式，斜率相等意味着平行，本题采用的是锐角三角函数，正切值相等则平行，其实斜率与正切值之间，本身就有密切联系，几乎等同于一种方法。完美地解决一道题目，读完条件即想到方法，书写过程中思路顺畅，这需要平时不断积累，融汇贯通。

*爱数学做数学