那么，二维闵氏几何里线段长度的计算公式自然就是这样的：

因为闵氏几何的线元的时间项前面有个负号，所以，为了避免根号里面的值出现负数从而让式子无意义，我们套了一个绝对值（它保证所有值都是非负的，比如-5的绝对值为5，记做|-5|=5）的符号。

也就是说，我们在闵氏几何里是根据这个式子来计算一条线段的长度的，Δt和Δx分别代表这条线在t轴和x轴的投影。

这个式子跟欧式几何的距离计算公式很类似，唯一的不同还是时间项前面的那个负号。也正因为这个负号，闵氏几何里的线长问题才会变得更我们平常想的不一样。

为了让大家熟悉一下这种新的线长计算方式，我先来举个简单的例子。

问题4：大家还记得光子的世界线是一条45°的斜直线把，我们现在随便在光子的世界线里取A、B两点，那么线段OA、OB的长度分别是多少呢？

如下图所示：

我们先来看看OA的长度，因为这条直线是45°，所以A点在x轴和t轴上投影得到的距离就是一样长的，也就是Δt和Δx的大小是一样的。

但是，闵氏几何里线段长度的计算公式是它们两个相减再开根号，现在这两个值是相等的，那么相减的结果不就是0了么？再开根号结果自然还是0。

也就是说，OA在闵氏几何里的长度为0。

你没有看错，它的长度就是0。OA你看着有这么长的一段，但是它在闵氏几何里的长度却是0，这就是那个负号带来的效果。

同样的，你可以接着去算OB的长度，或者直接算AB的长度，你会发现它的长度一样全部都是0。

所以，我们有这样的结论：光子的世界线长度恒为0。

这很反直觉吧？我们再来看个例子。

问题5：还是上面的图，我过B点做一条垂直于t轴的线，然后随便在BC之间取一条点D。那么OC就是静止不动的粒子的世界线，OD就是一条匀速直线运动的粒子的世界线，OB是光子的世界线，那么它们三个的长短怎么比呢？

乍一看，好像的OB>OD>OC。

但是我们刚刚算过了光子世界线OB的长度为0；OC是静止不动的粒子的世界线，那么它在空间上的位移Δx就为0，那么OC的长度就是粒子在时间轴里走的长度；OD在时间轴上的投影跟OC一样，但是它的Δx不等于0，那么它们相减（-Δt² Δx²）之后的数值肯定就变小了，那么OD是小于OC的。

于是，我们得到的结论确实跟之前的感觉截然相反的，三者的长度是OC>OD>OB=0。

所以，当我们在说时空图了某一条曲线的长度的时候，我们都要意识到我们是用闵氏几何那把尺子（时间项前面有负号）来度量曲线的长度，这跟我们平常生活里感受的（欧式几何度量长度）是不一样的。

一开始大家会觉得这种方式非常不习惯，但是一旦习惯了就会觉得这个非常自然。

好了，这里我们介绍了闵氏几何里线长的定义和计算方法，理论上我们就可以计算任意一条线段的长度了，也能比较两条线谁长谁短了。

我们上一节不就是最后把尺缩效应归结比较两条线段oa和ob的线长么？那现在可以直接比了啊。

我们看到ob在x轴的投影跟oa是一样长的，但是oa在t轴的投影为0，ob在t轴的投影却大于零。

但是，根据闵氏几何的线长公式，线长是这个线段在时间轴t和空间轴x投影长度平方相减再开根号。既然两条线段oa和ob在空间轴x上的投影都一样，那么在时间轴t上投影长度越大的，相减之后得到的值就越小，那么最后的线长就越小。

所以，我们能直接就这样感觉到，在闵氏几何下，ob是比oa更短的。

而ob代表的是运动参考系下尺子的长度，oa是静止参考系下尺子的长度，既然ob比oa更短，那么就是说在运动参考系里尺子的长度更短，这就是我们常说的尺缩效应。

这里我们是直接用线长的计算公式算出oa和ob的长度然后再来做比较，虽然算出来了，但是可能不是很直观。

在许多教材和文章里都会提到另外一种看起来更直观的比较方式，那就是使用校准曲线，很多人也经常看到这个但是不是很明白，我这里就一起再讲一下。

12校准曲线

校准曲线其实是回答了这样一个问题：闵氏几何里，到原点距离相等的点组成的轨迹是什么？

老规矩，我们先看看欧式几何的情况。

在欧式几何里，到原点距离相等（比如说都等于2）的点组成的轨迹是什么呢？这个我们都知道，这就是一个圆，到定点的距离等于定长的点的集合就是圆，这个点就是圆心，这个定长就是半径。

在欧式几何里，如果一个点（x，y）到原点的距离为2，那么，根据勾股定理我们就可以很容易写出下面的关系：x² y²=4。

而学过一点解析几何的人就都知道，这就是圆的坐标方程。

那么，再回到闵氏几何，在闵氏几何里到原点的距离为2的点组成的轨迹是什么呢？

其实也简单，我们不是已经有闵氏几何的距离公式了么？代入进去就行了，因为是求到原点的距离，所以Δx和Δt就分别是点的坐标x和t，如下图：