我们把两边平方展开就得到了：
大家对比一下，这个x²-t²=4跟我们在欧式几何里圆的方程只有一个符号的差别（因为坐标轴不同，作为纵轴t和y是完全等价的）。
这个式子，学过高中数学的同学一眼就能看出来这是一条双曲线，没学过或者忘了的可以自己去找一些具体的点描上去（自己找一些x的值，然后去算t的值，最后把（x，t）组成的点画到坐标系上去，看看轨迹是什么）。
我这里用GeoGebra（这是一个免费的在线数学绘图工具，你输入函数或者方程，它就会自动把对应的图像画出来，有兴趣大家自己也可以去画一画）给大家画了一个图，大家可以看看，双曲线大致就是这么一个形状：
我们先甭管双曲线在欧式几何里的各种几何意义，我们是怎么得到这个图的？
我们是在闵氏几何里找距离原点距离相等（这里等于2）的点的集合，也就是说，你别看这个曲线是弯弯曲曲的，但是在闵氏几何里，这个曲线里所有的点到原点的距离都是相等的，都等于2。
因为这种曲线上所有点到原点的距离都相等（闵氏几何下），所以我们就可以用这种曲线当作一个标准来校准，这就是把它叫校准曲线的原因。
还是那个尺缩效应的图，这次我们用校准曲线来看一下。
大家看到，我加了一条过a点的校准曲线，我们假设它跟x’轴交于c点。这样就非常清楚了，什么是校准曲线？校准曲线就是闵氏几何里到原点的距离都相等的点，因为a和c都在曲线上，所以，在闵氏几何里oa和oc的长度是相等的，也就是oa=oc。
而b、c两点都在x’轴上，很显然的ob<oc，合起来就是ob<oc=oa，那我们就很自然地得到了ob的长度比oa更短的结论。
而oa就是在静止的地面系观测得尺子的长度，ob是在相对尺子运动的火车系上观测到尺子的长度。我们得到的结论是ob<oa，这不就是说在运动的参考系里观测到的尺子的长度更短么？
完美符合尺缩效应的结论。
在狭义相对论里经常跟尺缩效应一起出现的还有一个钟慢效应，它说相对钟运动的参考系观测钟会觉得它走地更慢一些，也就是动钟变慢（这个不同于广义相对论里引力钟慢效应说的引力越大，时间越慢）。
但是钟慢效应和尺缩效应在时空图的处理上是类似的，所以我这里就不说了，大家可以自己去画一下，想知道答案的可以参考梁灿彬老师《从零学相对论》的4.2节。
接下来，我们来看一个狭义相对论里让无数新人头痛不已，也让无数科普者无比心烦的一个问题。
这个问题用几何语言处理极为简单，但是读者不认，他们不太了解闵氏几何，更无法理解几何图形里代表的物理实质，你凭什么用这个这个就代表了那个那个？
但是，这个问题如果用传统的代数语言讲就极为复杂，而且逻辑非常绕，一不小心就在各种相对里面把自己都绕进去了，分析它简直是对智商极大的挑战。
没错，这就是大名鼎鼎的“双生子佯谬”问题。
13双生子佯谬
双生子佯谬的描述倒是非常简单：假设地球上有一对双胞胎，有一天哥哥驾着宇宙飞船去太空里里飞了一大圈再返回地球。那么按照狭义相对论，我们就会发现哥哥再次回到地球的时候他会比弟弟更年轻。
比如说，哥哥从地球出发的时候，这对双胞胎都是20岁，现在哥哥在太空飞了一圈再回来之后，有可能弟弟已经30岁了，哥哥才25岁。当然，这个具体的数字依赖于特定的飞行情况，但是哥哥肯定会比弟弟年轻这是一定的。
这个问题的争议点在哪呢？
它争议就争议在：狭义相对论里有钟慢效应，也就是说运动的物体他的时间会变慢。
那么似乎可以说哥哥离开地球在太空里运动了一圈，所以哥哥是运动的，那么哥哥的时间会变慢，回到地球更年轻好像说得通。
但是，运动不是相对的么？你站在地球上觉得是哥哥在动，那么我站在飞船的角度来看，我也可以觉得是弟弟（包括整个地球）在远离我然后靠近我，那么运动的那个人就是弟弟，因此弟弟的时间更慢，兄弟见面的时候应该弟弟更年轻。
这样不就前后矛盾了么？
双生子问题是一个佯谬，佯谬就是说它看起来是错的，是矛盾的，其实是正确的。
也就是说，如果我们真的有这样一对双胞胎，哥哥去外面浪了一圈再回到地球，他是真的会更年轻。
但是，这样的话，我们要如何解释后面那种矛盾的说法呢？也就是，站在飞船上哥哥的角度看来，运动的是弟弟和地球，为什么不可以认为弟弟和地球才是那个时间变慢的呢？
有人意识到是加速减速这个过程在作怪，但是加速减速他一样可以说，我在飞船上看，地球也是加速离我远去，再加速再回来。
然后甚至有人说这里有加速度，就应该把广义相对论搬进来解释，在这条邪路上走地更远的甚至说：哥哥不是加速运动么？等效原理说加速度等效于引力，所以哥哥在加速的过程产生了引力，而广义相对论又说引力是时空弯曲，那么哥哥加速使得时空弯曲了。
其实，双生子佯谬不仅是让许多初学者疑惑，在相对论的几何语言普及之前，许多物理学家对它也是头疼不已。
他们到了20世纪50年代还在吵这个，物理学家们吵就不是像我们这样在群里或者论坛里发表一下意见看法，他们是发文章到《自然》、《科学》这样的顶级学术杂志里吵，所以你可以想象一下那时的情况。
但是，当几何语言普及之后，物理学界几乎就没人再因为这个争论了，因为在几何语言下，这个问题简直简单得不像话，它就跟2 2=4一样清晰简单，那还有什么好吵的。
为什么几何语言可以如此大幅度的降低双生子佯谬的难度呢？
这里就涉及到了学习相对论里最重要的一个事：学习相对论最重要的就是要分清楚相对论里哪些东西是相对的，哪些是绝对的。你要是看这个理论的名字叫相对论，就认为什么都是相对的，那就完了。其实相反，狭义相对论的两个根基“光速不变”和“相对性原理”都是绝对的：前者说光速是绝对的，后者说物理定律的形式是绝对的，这其实是一个不折不扣的“绝对论”。
我们再回过来想一想，双生子佯谬到底为什么这么麻烦？不就是因为滥用相对，认为什么都可以相对，所以站在哥哥的立场和弟弟的立场应该都一样从而导致了佯谬么？那为什么我们用几何语言可以轻松把这个问题理清楚呢？
因为我们在使用几何语言的时候，我们是把时3维空间和1维时间看做一个整体的4维时空。用3维眼光看世界，3维空间和时间都是相对的，但是4维时空确是绝对的。当我们站在更高的维度（4维时空）里看问题的时候，那些因为相对产生的各种问题就自然消失了。
所以，使用几何语言思考相对论，是站在更高的维度上看问题，这是一种思维方式上的降维打击。看过刘慈欣《三体》的同学，想必都对降维打击产生的效果印象深刻，学习相对论，我们也要尽快提高自己的维度~
如果想体会一下3维语言处理双生子问题的复杂度，可以看看我之前写过的一篇《双生子佯谬过程全分析》，其处理问题之麻烦，逻辑之烧脑简直灭绝人性。
虽然我已经尽量清晰通俗的语言来说这个问题了，但是读者的问题还是跟雪花一样飞过来。最开始我还比耐心的一个个在群里解释，后来就实在受不了了。要跟人把这个问题彻底解释清楚，少则一两个小时，多则一下午，太费时费精力了。
而且，后面要理解许多人的问题都非常困难，因为要提出一个正确的相对论的问题也需要一定基础，有些同学相对论的基础知识不牢，提的问题都是问题，那还怎么去理解双生子佯谬呢？
这就像是游戏里刚出来就要去打终极BOSS，下场自然可想而知，这也是我为什么现在就这么着急的来讲几何语言的一个原因：我实在不想再回答3维语言的双生子问题了。
而且，把自己局限在这几个效应佯谬里，也不是什么好事，因为讲相对论的人虽然经常讲这个几个东西，但是这些东西绝非相对论的精髓，大家早点从这些框框里跳出去，去感受一下相对论里更精妙的东西才是好事。
14双生子佯谬的几何解释
好，我们下面来看看从几何语言是如何降维解决双生子佯谬的问题的。
我们先假设地球做惯性运动（忽略地球自转和引力场什么的），以地面系为基准系，我们在时空图里画一画哥哥和弟弟的世界线。
弟弟的世界线简单，因为他一直待在地球没动，所以他在空间坐标里没动，流逝的只有时间。那么，弟弟的世界线就是一条跟t轴平行的直线。
哥哥的世界线稍微复杂一点，但是也很容易。哥哥从地球出发，去太空浪了一圈再返回地球，这其中的过程无非是先加速远离地球（加速之后有没有匀速我们都不管了），太空里飞了一段时间要掉头返回地球，那么其中必定先减速，再反向加速驶向地球，最后还要减速降落在地球上。
因为匀速运动的世界线是一条斜直线，那么加速运动的世界线就是曲线了，这曲线大致就是下面这个样子。
