作者 | [美]乔治·伽莫夫
翻译 | 吴先先
来源 | 节选自《数学知道一切的答案：从一到无穷大》，民主与建设出版社，2021年6月。
上一节中我们讨论了数字，其中有不少都是相当大的数。不过，即便是大到不可思议，就像西萨·班·达依尔要求的麦粒数目那么大，这些数字仍然是有限的。只要给足时间，人们就可以把这些数字从头到尾写下来。
不过，还有一些具有无穷性的数，无论花多少时间都写不完。例如，“所有整数的数量”显然是无穷大的，“一条线上所有几何点的个数”亦是如此。对于这样的数，我们除了说它们是无穷大的以外，还可以尝试其他的描述吗？换句话说，有没有可能比较两个不同的无穷数，看看哪一个“更大”？
“所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数相比，哪一个更大”——这样的问题有意义吗？著名的数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）最先考察了这个乍看上去有点天马行空的问题，他是“无穷数学”当之无愧的开创者。
想要谈论无穷数的大小，就会有一个问题随之而来：我们既没法表示这些数字，也无法把它们写下来。这就有点儿像一个正在清点自己百宝箱的霍屯督人， 他想知道自己手里的玻璃珠子多，还是铜币更多。相信你还记得，霍屯督人无法数出 3 以上的数字，那么，他会不会因为数不出珠子和铜币各自的数量，就放弃比较这两个数的大小呢？不一定。如果他足够聪明，就会把珠子和铜币逐一比较直至得出答案：把一颗珠子摆在一枚铜币边上，另一颗珠子摆在另一枚铜币边上，就这样摆下去。如果珠子用完了，铜币还剩下几枚，他就会知道，铜币比珠子更多；如果铜币用完了，还有几颗珠子，那么就是珠子比铜币多；如果两者同时用完，那就是一样多。
康托尔在比较无穷数时，用的也是完全相同的办法：把两组无穷数进行配对，如果这两个集合里的每一个元素都能一一对应，最后没有任何元素剩下，那么这两组无穷数就是相等的；如果其中一个集合里的有元素无法配对，那么就可以说，这组无穷数要比另一组更大一些，或者说更强一些。
这个方法无疑是可行的，事实上，要比较无穷大的数字，也只有这个法子了。不过，在真正开始采用这个方法之前，我们得做好大吃一惊的心理准备。比如说，我们来比较一下所有的奇数和偶数这两个无穷数集合。从直觉上判断， 你肯定会觉得奇数和偶数一样多，而且它们也完全符合上述的规则，二者可以做到一一对应：
在这个表里，每一个奇数都对应着一个偶数，反之亦然。因此，奇数和偶数是大小相等的无穷数。看上去很简单，也很自然！
不过，稍等一下。下面这两个数，你觉得哪个更大：所有整数的数量（包括所有的奇数和偶数），还是所有偶数的数量？你当然会选择前者，因为它既包括了全部的偶数，也包括了全部的奇数。但这只是你的直觉而已。想要得到准确的答案，就必须应用无穷数比较的规则。如果你真的这么做了，就会吃惊地发现自己的直觉是错的。实际上，所有的整数和所有的偶数也可以放在如下这个表中，实现一一对应：
依照无穷数比较的规则，我们只能得出如下结论：所有的偶数和所有的整数个数完全相等。当然，这听起来有点自相矛盾，因为偶数只是整数的一部分，但是必须要记住，我们在这里计算的是无穷数，它们的性质会不太一样。
没错，在无穷数的世界里，部分确实有可能等于整体！最好的一个例证，莫过于德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）讲的一个故事。他在课堂上的这段话描述了无穷数的矛盾属性[1]：
“我们来想象一个旅馆，它的房间数量是有限的，而且所有房间都住满了人。假如有一个新客要求入住，那么老板会说：‘抱歉，所有房间都住满了。’再来想象另一家旅馆，这里有无穷个房间，同样，每一个房间里都住上了人。这时又有新客来访，要求入住。
“‘没问题！’旅馆老板会立刻答应下来，并把之前住在一号房的客人移到二号房，二号房的客人移到三号房，三号房的客人移到四号房，依此类推……这样，新客就可以住进调整后空置出来的一号房里了。
“我们再换个方式，想象一个同样有无穷多个房间的旅馆。所有的房间都客满，并且有无穷多个新客要求入住。
“‘好的，先生们，请稍等。’旅馆老板说道。
“紧接着，老板把一号房的客人移到二号房，二号房的客人移到四号房，三号房的客人移到六号房……以此调整。
“现在，所有门牌号是奇数的房间全都空置了，无穷多个新客人就可以轻松入住进去了。”
希尔伯特描述的这个场景可能不太容易想象，毕竟现在不是战时的华盛顿，没有那么多要住店的客人。不过这个例子很好地说明了在进行无穷数的运算时，我们会遇到一些和普通算术不太一样的运算属性。
依据康托尔的无穷数比较规则，我们还可以证明，所有分数（如, ） 和所有整数的个数是相等的。我们可以按照如下的规则，把所有分数排成一排：先写出分子和分母之和等于 2 的分数，这样的分数只有一个，即 ；再写出分子和分母之和等于 3 的分数，即 和 ；接下来是分子和分母加起来等于 4 的分数，包括和 、和……，以此类推。按照这个步骤，我们会得到一个包含了所有分数的无限数列（图 5）。现在，在这个数列旁边写出整数的数列，就可以实现无穷多个分数和无穷多个整数的一一对应。所以说，它们的数量是相等的！
