问题

这是2022年国际数学奥林匹克竞赛（IMO）第一天的最后一道题，也是第一天3道题中最难的一道。

69%的参与者在这个问题上得到0分（满分7分）。只有不到5%的参与者获得了全部7分。考虑到每个IMO参与者都是来自各个国家的前6的高中数学家之一，这道题的难度可想而知。

问题陈述很简短，相对容易理解。在深入研究之前，我们先从一个简单的问题入手。

圆中的3质数研究

考虑S包含3个质数。现在，不考虑旋转和反射，将任意3个数字排列到一个圆中只有一种方法。尽管如此，3个质数的情况仍然包含了许多对这个问题至关重要的见解。

下图显示了3个奇数素数集合S：{3，5，7}，{3，5，11}和{3，5，13}。

• 奇素数（蓝色）及其乘积（橙色）

上面的3个例子包含最小的奇素数3和5。这很容易研究，因为乘积15的形式是x^2 x k对于某个正整数x，只有几种情况：

• x = 1，k = 13
• x = 2，k = 9
• x = 3，k = 3

x的任何较大值都使得x^2 x＞15，那么k为负（但k是正整数）。

从集合S ={3,5,7}开始，我们想找出当k = 13, k = 9或k = 3时，剩下的乘积21和35是否可以表示为x^2 x k。

绘制一个小表格来检验所有的可能性，我们发现没有一个k值适用于集合S ={3，5，7}。