但是对于集合S ={3，5，11}，我们发现k = 13就可以了。所有3个乘积15、33和55都可以表示为x^2 x 13。

对于集合S ={3，5，13}，所有3个乘积15，39和65都可以表示为x^2 x 9。

这似乎很令人惊讶，因为右边两列的唯一共同数字也是第一列的3个数字之一。

我想尝试一组3个略大的质数：S ={5，13，23}，它们的两两乘积分别是65、115和299。

同样，有一个唯一的k值使得所有3个乘积都可以表示为x^2 x k。可以发现，

• 最大的质数（23）总是比最大的两个x（15和7）的和大1，并且
• 两个最大的x值之差等于两个较小的质数之差。

例如，在上面的表中，对于S ={5，13，23}，最大的两个x值是7和15。我们可以看到7 15 1 = 23，157 = 135。

这些观察结果使我们能够证明k对3素数集合的唯一性，并用数学归纳法来证明任何集合S的唯一性。

数学归纳法的证明

这个想法是为了证明对于有（n 1）个素数的集合S的任何合适的排列，去除最大的素数p给出了一个适合（且唯一的）n个素数集合的排列。另外，只有一对质数q, r可以放在p的旁边。加上3个质数的基本情况，这足以保证S的排列必须是唯一的。