作者 | 李梦樵
来源 | 《中学数学教学》1983年02期
二、《九章算术》
《九章算术》成书于何时已不可考。三国时魏刘徽为《九章算术》作注。序言中有以下一段：“按周公制礼，而有九数，九数之流，则九章是矣。往者暴秦焚书，经术散坏，自时厥后，汉北平侯张苍（公元前250年—前152年，河南阳武县人。在秦为御史，汉高祖六年封为北平侯，汉文帝时为丞相历十五年，享年百余岁)，大司农中丞耿寿昌（公元前73年—前49年)，皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故较其目，则与古或异，而所论者多近语也。” 由此可见，《九章算术》在西周初期已具雏形，以后有所修订补充。张苍、耿寿昌两次删补，更换篇目，并把古人的叙述换成汉代语言，使《九章算术》成为定本。
据传古代九章中有“重差”、“夕桀”、“旁要(音腰)”而没有“勾股”。重差术有刘徽专著，即《海岛算经》。旁要、夕桀世无传本。据清代学者研究，“旁”即“边”，“要”同“腰” ，“旁要”即研究圆的内接形和外切形；“夕”有“斜”的意义，“桀”古同“磔”，有分裂的意义，“夕桀”当系研究中线、角平分线、高线。由于这些线把三角形分成两部分，古人重视面积，故名夕桀。旁要、夕桀的失传，可能是毁于秦火，也可能是张、耿等人从古九章删去，而“方程”与“勾股”，可能是张、耿等人所加。因“方田”章即有“方程”，“商功”章即寓“勾股”也。
《九章算术》在明代失传。清乾隆时修《四库全书》，戴震等从《永乐大典》中辑出。《大典》所载没有图形，戴震为之补绘。现存《九章算术》，即戴震所辑出之本，有魏刘微与唐李淳风注释。另有李潢(乾隆36年进士)著《九章算术细草图说》九卷，附《海岛算经》一卷。
《九章算术》分方田、粟米、衰(音崔)分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，共有246个问题。各章内容摘要叙述如下。
第一章“方田”共38问。主要讲计算田亩面积的方法，有方田（正方形)、直田(矩形)、圭田（三角形）、邪田(梯形）、圆田(圆形）、环田(环形）、弧田(弓形）等等。其中方田、直田、圭田、邪田的公式是正确的，圆田、环田、弧田，古法用π=3是粗糙的，弧田的公式并不正确，竟然沿用了二千年之久。刘徽在这里指出，“径一周三”是内接正六边形的周长，应该小于圆周，他用割圆法提出π=3.14，后人把3.14叫做徽率。注中又有π=3.1416，清代李潢认为是祖冲之的创造，近代数学家钱宝琮、华罗庚、钱伟长、历乃骥以及日本三上义夫均认为刘徽所创造，刘徽既发明割圆术，创造π等于3.1416只是一举手之劳。
这一章中，还讲到分数运算法则，在约分术中，讲了用辗转相除法求分子、分母的公约数。
第二章“栗米”共46问。大部分讲粮食交换的计算。先规定交换率，用“今有术”（即比例，欧洲叫做三数法则）进行计算。这一章还用到很复杂的复名数化、聚的方法。
第三章“衰分”共20问，是讲配分比例和等差、等比数列等问题。
第四章“少广”共24问，讲平面的面积和球的体积。讲了开平方、开立方的计算。还有已知球的体积求直径的方法。
第五章“商功”共28问：是讲立体的体积计算，其中名词，今多已不用。这里用公式表示书中叙述的各种立体的体积的计算方法。
城、垣、堤、沟、堑、渠都是一种平截头楔形，上下底皆是矩形。上底宽a长c，下底宽b长c，体积V=(a b)ch。
“仓”是长方体；方堡壔（音岛)是上下底都是正方形的柱体，圆堡壔是直圆柱，方亭是上下底都是正方形的棱台，圆亭是圆台，方锥是底面为正方形的棱锥，还有圆锥。
堑堵：一矩形柱体依对角面剖开(下图一)
V=abh
阳马：底面为长方形而有一棱与底面垂直的锥体(下图二)
鳖臑(音闹)：底面为直角三角形而有一棱与底面垂直的锥体(下图三)
方亭：圆亭：
羡除：楔形体的三个侧面不是长方形而是梯形(下图四)
这个公式欧洲认为是勒让德(Legendre，1752—1833)发现的，比中国晚了二千年。
刍甍是形如草房顶的楔
刍童、曲池、盘池、冥谷都是长方台
这些公式都是正确的。最有趣的是刍童公式改写为：
V=h(2ab ad 2cd bc)=h[ab cd (ab ad cd bc))=h[ab cd (a c)(b d)]=h[ab cd 4×(a c)×(b d)]
此处ab是上底面积，命为，cd是下底面积，命为，(a c)×(b d)是中截面面积，命为。得V=h与拟柱体的体积公式相同。
第六章“均输”共28问。是大统一时代，处理国民平均负担的问题。李约瑟说，欧洲研究这些问题要晚得多。
《九章算术》均输章的第一个问题：今有均输粟，甲县一万户行道8日，乙县9500户行道10日，丙县12350户行道13日，丁县12200户行道20日，各到输所，凡四县赋当输25万斛，用车一万乘。欲以道里远近、户数多少衰出之，问粟、车各几何？
解：100008 =1250， 950010=950， 1235013=950， 1220020=610，
甲：乙：丙：丁=1250：950：950：610=125：95：95：61
而125 95 95 61 =376
(甲)
(乙、丙）
(丁)
由于车数须为整数，用四舍五入法得甲县出车3324乘，乙、丙两县各出车2527乘，丁县出车1622乘，2500001000=25(斛)，甲县出粟3324×25=83100（斛)，乙、丙两县各出菜2527×25=63175（斛)，丁县出粟1622×25=40550（斛），李约瑟认为这类问题欧洲很少人提到，至公元8世纪，才在数学难题中出现。
第七章，“盈不足”共20问。是我国古代解决问题的一种巧妙的方法。除盈不足、两盈、两不足等问题外，还用来解某些等比数列问题。如第十一问。
今有蒲生一日长三尺，莞(音管)生一日长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等。
原解：设为2日，蒲生3 1.5=4.5(尺)，莞生1 2=3（尺)，4.5-3=1.5(尺)(不足)。
设为3日：蒲生3 1.5 0.75=5.25(尺)，莞生1 2 4=7(尺)，7-5.25=1.75(尺)(盈)。
1.75×2 1.5×3=3.5 4.5=8, 8(1.75 1.5)=83.25=2(日)，蒲长3 1.5 0.75×=4.5 =4（尺)，莞长1 2 4×= 413(尺)。
今解：设所求日数为n，有即，
,即, =1则n=0不合，=6则n==2.5849（日)，蒲长=5。莞同。
“今解”与“原解”不一致，是因为“原解”把每日生长率看成匀速，而“今解”把每日生长率看成变速。
第八章“方程”共18问，主要讲一次方程组的解法，未知数多达五个。“方”是把一个算题排列成方阵的形式，“程”的古义是度量、程式。
这一章最宝贵的遗产是在全世界上首先突破正数的范围，提出负数，并提出“正负术”（正负数加减运算法则）。刘徽在注中说，正数用赤筹，负数用黑筹，或将筹斜放（负）和正放（正）来区别。以第八问为例。
今有卖牛二、羊五以买十三豕，有余钱一千，卖牛三、豕三以买九羊，钱适足，卖羊六，豕八以买五牛，钱不足六百，问牛羊豕各买几何？
书中“术日” （解法），用现在的方程写出来就是下面三个方程：
2x 5y-13z=1000， 3x-9y 3z=0， -5x 6y 8z=-600。
方程章第13问是不定方程。译成今文如下：今有五家共井。若用甲家绳2条吊水，缺少的正好是乙家绳1条，用乙家绳三条，缺少的正好是丙家绳一条，用丙家绳4条，缺少的正好是丁家绳一条，用丁家绳5条，缺少的正好是戊家绳一条，用戊家绳6条，缺少的正好是甲家绳一条，如果各家都能得到缺少的一条。都正好吊着水。问井深和五家的绳长各若干？
设甲、乙、丙、丁、戊五家的绳长各为x、y、z、t、u丈，井深为w丈。
则有 2x y=3y z=4z t=5t u=6u x=w
得x：y：z：t:u：w=265:191:148:129:76:721。
书中用这些数（如265是2丈6尺5寸)作为答案，可能是根据具体情况，一般井深不超过10丈也不少于4丈。
第九章“勾股”共24问。用勾股定理解答实际问题。例如第六问：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”
又如第九问：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” （径指直径）解法中用到“垂直于直径的半弦的平方等于直径被弦所分两段乘积”这一性质。
第十五、十六两问是“勾股容方”、“勾股容圆”问题。就是求直角三角形的内接正方形边长和内切圆直径问题。
还有一些问题，要用到一元二次方程。这里不一一列举。
《九章算术》不仅内容丰富，影响也深远。元朱世杰的《四元玉鉴》和明程大位的《算法统宗》都有类似于勾股章的第六问。“今有方池一所，每边丈二无疑。中间蒲长一根肥，二尺水面高起。斜引蒲稍至岸，恰与水面相齐，知君明算并无欺，蒲长水深各几？”后来传到印度。在印度作家书中有：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲，出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。渔人观看忙向前，花离原位二尺远。能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”（引自《趣味几何学》第69页）
