一、关键词：多阶等差数列，通项公式，消元法，解线性方程组

二、摘要：本文阐述了求多阶等差数列通项公式的具体方法，以及通过巧妙消元，解系数为i^(n-1)形式的线性方程组的方法。

三、举例：

对于数列：1 5 15 35 70 126 210……，用后项减去前一项得到新数列：4 10 20 35 56 84……再求项差得：6 10 15 21 28……；再求项差得：4 5 6 7……；再求项差得：1 1 1 ……；总共经过了4次求项差成为了常数数列。所以，原数列为4阶等差数列，它的通项公式必是一个关于自然数n的4次5项式，设它的通项公式为：an=X1*n^4 X2*n^3 X3*n^2 X4*n X5，其中X1，X2，X3，X4，X5为待求系数，n为从1开始的自然数。把an=1,5,15,35,70分别代入它的前5项有：

X1 X2 X3 X4 X5=1

16*X1 8*X2 4*X3 2*X4 X5=5

81*X1 27*X2 9*X3 3*X4 X5=15

256*X1 64*X2 16*X3 4*X4 X5=35

625*X1 125*X2 25*X3 5*X4 X5=70

仔细观察这个方程组会发现：每个方程的末项都相等，所以只要用下一行方程减去上一行方程就可消去末项未知数得：

15*X1 7*X2 3*X3 X4=4

65*X1 19*X2 5*X3 X4=10

175*X1 37*X2 7*X3 X4=20

369*X1 61*X2 9*X3 X4=35

得到的新方程组仍然满足末项都相等，再用下一行方程减去上一行方程消去末项未知数得：

50*X1 12*X2 2*X3=6

110*X1 18*X2 2*X3=10

194*X1 24*X2 2*X3=15

同理得：

60*X1 6*X2=4

84*X1 6*X2=5

同理得：24*X1=1，解之得：X1=1/24.

反过来把X1=1/24的值代入以上方程可求出X2=1/4，X3=11/24，X4=1/4，X5=0，最后得出所求数列的通项公式为：an=1/24*n^4 1/4*n^3 11/24*n^2 1/4*n.

四、扩展：

一般的，如果一个数列用后项减去前一项得到一个新数列，如此重复n-1次后最终成了常数数列，那么它就是一个n-1阶等差数列，它的通项公式必将是一个关于自然数n的n项n-1次多项式：an=X1*n^(n-1) X2*n^(n-2) …… X(n-1)*n Xn.把它的前n项值代入通项公式可得到如下方程组：

X1 X2 X3 …… X(n-1) Xn=b1

2^(n-1)*X1 2^(n-2)*X2 2^(n-3)*X3…… 2*X(n-1) Xn=b2

3^(n-1)*X1 3^(n-2)*X2 3^(n-3)*X3…… 3*X(n-1) Xn=b3

…… …… ……

n^(n-1)*X1 n^(n-2)*X2 n^(n-3)*X3…… n*X(n-1) Xn=bn

并且其末项系数都相等，只要用下一行方程减去上一行方程逐步消掉末项系数，就可求出未知数X1，X2，X3，……，X(n-1)，Xn的值，最后可得到它的通项公式：an=X1*n^(n-1) X2*n^(n-2) …… X(n-1)*n Xn.