这其实是老黄在数学探究中遇到的一次危机。因为按教材的递推公式推导出来的公式，有一部分和老黄自己推导的公式是完全不同的。这说明老黄之前推导的结论有可能是错误的。

为此老黄进行了大量的检验，才确保两种形式都是正确的。这是因为用不同的方法求不定积分，可能得到形式不同的原函数，但结果是统一的。它们可能相等，也可能只相差一个常数。

以上是《老黄学高数》系列学习视频第267讲分享的内容，这是这组公式的第二种推导方法。原以为这样就结束了，没想到老黄很快又发现了第三种推导方法。那是基于正弦的整数幂与余弦的整数幂的积的不定积分的递推公式：

这个递推公式在《老黄学高数》系列学习视频第273讲中进行了详细的证明。因为这个递推公式，老黄又看到了推导上面那组公式的第三种方法，即当m=0, 或n=0时的不定积分公式。