在实际生活中，我们常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，这就是排列问题。在排列的过程中，不 仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关。

为了给出排列问题的一般解法，我们给出排列的定义及计数公式。 一般的，从 n 个不同的元素中，每次任取出 m 个（m≤n）不同的元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中任取出 m 个元素的一个 排列，简称 m 元排列。

排列的基本问题是计算排列的总个数，就是所谓的“排列数”。

按照排列的定义，做一个 m 元的排列由 m 个步骤完成：

第一步：从 n 个不同元素中任取一个元素排在第一位，有 n 种方法；

第二步：从剩下的 n - 1 个元素中任取一个元素排在第二位，有 n - 1 种方法；

……

第 m 步：从剩下的 n -（m - 1）个元素中任取一个元素排在第 m 个位 置，有 n - m 1 种方法。

根据乘法原理，利用给定的 n 个不同元素做 m 个不同元素的排列的 方法数是：

n ×（n - 1）×（n - 2）×（n - 3）× … ×（n - m 1）。

实例

有 9 面颜色不同的信号旗，任意取出三面旗从上到下挂在旗 杆上表示信号，共可以表示多少种不同的信号？

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​思路解析

​这里的九面不同颜色的小旗就是九个不同的元素，三面小旗 表示一种信号，就是有三个位置。 由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关， 所以是排列问题，其中 n = 9，m = 3。 所以，共有：9 × 8 × 7 = 504（种）。

​答：共可以表示 504 种不同的信号。

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​拓展练习一

​用 0、1、2、3、4、5、6、7、8 这 9 个数字，可以组成多少个没有 重复数字的三位数？

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​答案提示

• ​方法一 因为要组成没有重复数字的三位数，所以，每个 这样的三位数就是从 0 到 8 这 9 个数字中每次取 3 个数字的一个排列。第 一位不是 0 的三个数字的排列表示一个三位数，所以，要求三位数的个数就 是用 0 到 8 这 9 个数字组成的首位不是 0 的三元排列的个数。这样，我们 可以分两步解决，先排百位上的数，再排十位与个位上的数。 百位上的数字只能从 1、2、3、4、5、6、7、8 这 8 个数字中任选一个数 字，有 8 种方法；十位数字和个位数字可以从余下的 8 个数字中任选 两个。 根据乘法原理，所求的三位数的个数是： 8 × 8 × 7 = 448（个）。
• ​方法二 用从 0 到 8 这 9 个数字中任取三个数字的排列数，减去其 中以 0 为排头的排列数，就是用这 9 个数组成的没有重复数字的三位数 的个数。 从 0 到 8 这 9 个数字中任取三个数字的排列有：9 × 8 × 7 = 504（个）； 以 0 为排头的排列有：8 × 7 = 56（个）。 所以，所求三位数的个数是： 9 × 8 × 7 - 8 × 7 = 504 - 56 = 448（个）。
• ​方法三 我们可以把符合条件的数分成三类： （1）不含零的三位数有：8 × 7 × 6 = 336（个）； （2）十位数是 0 的三位数有：8 × 7 = 56（个）； （3）个位数是 0 的三位数有：8 × 7 = 56（个）； 由加法原理可知符合条件的三位数的个数有： 8 × 7 × 6 8 × 7 8 × 7 = 336 56 56 = 448（个）。 答：用 0、1、2、3、4、5、6、7、8 这 9 个数字，可以组成 448 个没有重复数 字的三位数。

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​拓展练习二

​有 9 面颜色不同的信号旗，任意取出一至三 面旗从上到下挂在旗杆上表示信号，共可以表示多少种不同的信号？

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​答案提示

​我们可以把 9 面旗子看成 9 个元素，则所组成的信号可 分别看作从 9 个不同元素中分别取出一个、两个、三个元素的排列数，因此把组成的信号分成三类：

​ （1）第一类：用一面旗子组成的信号有 9 种；

​ （2）第二类：用两面旗子组成的信号有 9 × 8 = 72 种；

​（3）第三类：用三面旗子组成的信号有 9 × 8 × 7 = 504 种；

​所以，一共组成的信号总数是： 9 9 × 8 9 × 8 × 7 = 9 72 504 = 585（种）。

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​ 答：共可以表示 585 种不同的信号。

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​拓展练习三

​小明、小红等 7 个小朋友照相，分别求出在下列条件下有 多少种排法。

​（1）7 人站成一排；

​（2）7 人排成一排，小明必须站在中间；

​（3）7 人排成一排，小明、小红必须有一人站在中间；

​（4）7 人排成一排，小明、小红必须站在两边；

​（5）7 人排成两排，前排 3 人，后排 4 人；

​（6）7 人排成两排，前排 3 人，后排 4 人，小明站在前排，小红站在后排。

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​ 答案提示

​（1）这个问题中，

​​第 1 个位置有 7 种排法，

​​第 2 个位置有 6 种排法，

​第 3、4、5、6、7 个位置，分别有 5、4、3、2、1 种排法，

​​（所以共有 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040（种）排法。

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​（2）小明站在中间，剩下的 6 个人可以随意排列，共有 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720（种）排法。

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​（3）小明站在中间，剩下的 6 人可以随意排列；

​ 小红站在中间，剩下 的 6 人也可以随意排列，

​ 共有（6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1）× 2 = 1440（种）排法。

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​（4）小明、小红站在两边，共有 2 种排法，

​ 其余 5 人可以随意排列，共 有 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120（种）排法，

​ 根据乘法原理，共有 2 × 120 = 240 （种）排法。

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​ （5）第一步排前排 3 人，从 7 人中选 3 人即可，共有 7 × 6 × 5 = 210 （种）排法；

​ 第二步，剩下的 4 人排在后排，共有 4 × 3 × 2 × 1 = 24（种）排 法。

​ 根据乘法原理，共有 210 × 24 = 5040（种）排法。

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​ （6）在除小明、小红外的 5 人中选 2 人站在前排，共有 5 × 4 = 20（种） 排法，

​ 这 2 人与小明一起排在前排，共有 20 × 3 = 60（种）排法；

​ 剩下的 3 人与小红在后排可以随意排列，共有 4 × 3 × 2 × 1 = 24（种）排法，

​ 故符合 要求的排法共有 60 × 24 = 1440（种）