这个结果表明，教育和职业所养成的习惯，已经深深改变了数学家们思考数学时的思维方式。文化的影响之巨，由此可见一斑。

文化是什么时候把我们曾经的模糊本能（“量觉”）塑造成能精确识别数的能力（“精确的数量感”）的呢？确切时间目前还不清楚。人类处理数的最早证据来自南非莱邦博山脉的博德山洞。在那里，考古学家们发现了年龄为4.4万的有缺口的骨头，其中包括狒狒的腓骨，上面刻有29个痕迹。人类学家认为，这些痕迹表明，这块骨头类似原始人的“账目棒”，是用来辅助计数的。说明那个时候人类就已经学会有意识地用符号表达和操纵数目了。

公元前4千年左右，在底格里斯-幼发拉底河谷（现在伊拉克的一个地区），出现了美索不达米亚文明。在这种文明中，计数和测量达到了新的高度。这同样跟文明的发展需要分不开。美索不达米亚人需要记录天文历法，丈量土地面积，衡量谷物收成，甚至记录重量。然后随着人类走向海洋，或者研究天空，我们开始发展导航和天文观测所需要的数学。甚至到了现代，商业的需要也仍在推动数学的发展。譬如，一些最复杂的数学正是为华尔街的股票和债券交易而开发的。

拓展阅读:动物有数学本能吗？

关于人类是否天生具有“数觉”的争论，让持肯定意见的人经常转向从动物方面寻求支持。如果我们的远亲能表现出一定的数学能力，那这就意味着我们自己对数的感觉也必定先于文化的发展。

一些动物个体被证明表现出非凡的数觉天赋。亚历克斯，一只经过训练的非洲灰鹦鹉，在80%的时间里能正确识别出2到6个物体的集合。Ai，日本灵长类动物学家训练出来的一只黑猩猩，能做同样的事情。

但也有人争辩说，这些动物并没有掌握数的象征意义。相反，它们只是在经过上千次的训练之后，能通过联想来学习数。这和我们训练动物去做它们在野外做不到的事情没什么不同。比如在自然状态下，让大象戴着滑稽帽子一条腿站在凳上是不可想象的，而经过训练再做这类事情，就没什么可稀奇的了。

但越来越多的证据表明，动物在自然状态下也能表现出接近“数觉”的能力。20世纪90年代早期，有观察证明，狮子能区分一头狮子和三头狮子的吼声。在2017年2月的一次会议上，研究人员还报告说，一些青蛙在择偶过程中，当听到与之竞争的青蛙的叫声时，会在叫声数量上与竞争者一争高低。

这些发现表明，动物确实有一种接近“数觉”的本能。换句话说，这种本能为人类和许多其他动物共同拥有。

下篇 数学的本质

“数学是大自然的语言”

目今，人类已经建立了一座巨大的数学金字塔。在过去5千年左右的时间里，数学已经扩张到更加抽象的领域，似乎进一步脱离了周围的现实世界和普通人的理解范围。

然而，我们对宇宙的秘密了解越多，数学上的新发明就越能描述这些秘密。例如，当大卫·希尔伯特发展了一种高度抽象的代数来处理无穷多个维度而不是熟悉的空间三维时，没有人能预见到这种代数能在量子力学中得到应用。但不久之后证明，希尔伯特的这套数学——即所谓的“希尔伯特空间”——是我们理解诡秘的量子世界的关键。

数学和物理之间这种普遍存在的联系，使我们想起几个世纪前伽利略说过的一句话“数学是大自然的语言”。对今天从事自然科学研究的人来说，数学几乎是一门必备的工具。甚至长期抵制数学的生物学，也在慢慢地屈服：人们已经见证了数学在基因组学或神经科学中的广泛应用。比如，DNA双螺旋结构的发现就与一个叫“傅里叶分析”的数学工具分不开。神经生物学则越来越依赖拓扑学、图论等数学学科。

数学自身取得的辉煌成就以及它在现实中无所不在的应用，让一些人产生一种“狂妄”的看法：数学是一切，一切皆数学；宇宙是一个数学结构，它只有数学性质。这种看法与古希腊毕达哥拉斯学派“一切皆数，数是万物的本源”的神秘思想遥相呼应。

数学是发现还是发明？

历史上，人们曾为“数学是发明还是发现？”发生过激烈的争论。按“数学是一切”的观点，数学显然是“发现”而不是“发明”，因为它早已存在那儿，我们所做的只是发现而已。

但事情也许没那么简单：当问及“数学是被发明的还是被发现的？”的时候，人们往往有一种先入为主的前提，好像两者是相互排斥的。如果你发明了它，你就不会是发现了它，如此等等。但这不是一个非此即彼的命题。

想想古希腊数学家欧几里德编纂的《几何原本》，它搜集了古希腊所有的数学知识，并编纂了一条条几何定律。欧几里德把他的工作建立在一系列公理之上。这些公理既不能证明，也不能证伪，我们只能说它们是“被发明的”。其中最著名的一条就是“平行线公理”：两条平行线永不相交。随着时间的推移，从这些公理中衍生出很多的规则和关系，并被后人证明为定理。从某种意义上说，他们是“发现”了欧几里德几何学的景观。

但是几千年后，有数学家另起炉灶，决定采用新公理去发现新的几何王国。这些新公理与欧几里得的公理是矛盾的。例如，因德国数学家黎曼而得名的黎曼几何，明确依赖于“平行线可以相交”这一思想。这个非正统的出发点把我们引向了一个广阔的数学世界，爱因斯坦用其来阐述他的广义相对论。

数学能否解释自己的起源？

但是，不管我们从哪一套公理出发，数学可能不像我们所以为的那样是一套完整的思想体系。对于这一点，我们要归功于奥地利逻辑学家哥德尔的不完备性定理所提供的洞见。哥德尔证明，在任何形式的公理和定理体系里，有一些既不能证明对，也不能证明错的陈述。换句话说，有些问题数学可以问，但它永远无法回答。像欧几里得几何中的“平行线永不相交”就是一例，欧几里得几何体系自身无法提供证明。我们只能说：“暂且假设它是对的，来看看会推出什么结果……”

在这种情况下，我们说数学是普遍真理，或许还为时尚早。因为真理嘛，对的就是对的，不能说“假设它是对的”（比如上帝存在就说存在，不存在就说不存在，不能说“假设他存在”）。再者，人类迄今所建立的数学体系，也许不过是“数学丛林”的一个小角落，谁敢保证它就代表了宇宙整体呢？

当前，能不能完全用数学来描述意识，是数学面临的一个非常大的挑战。我们知道，数学本身就是人类意识的产物，现在反过来要用它去解释意识，那就意味着要数学去解释自己的起源。它能胜任吗？ 如果能解释，也就算了；如果不能，那麻烦就大了。因为既然连“大自然的语言”数学都解释不了意识，那意识还能用什么来解释呢？或者反过来，迫使我们追问“难道数学真是大自然的语言吗？”