设V是一个集合， 是V上的二元运算（ ：V×V→V是一个映射）。
若存在0∈V，使得对每个v∈V都有v 0=v，则称0是V中关于 的单位元，既零元。
若对每个v∈V，存在w∈V，使得v w=0，则称w是v的逆元。将w记为-v。既负元。先证明零元与负元的唯一性（下图是在向量空间中的证明）。
思路和图中一样，设0'是另一个零元，w'是v的另一个负元。则有
0'=0' 0=0
w=w 0=w (v w')=(w v) w'=0 w'=w'
由此可得零元与负元的唯一性。
在自然数中，我们知道数字0，就是加法中的零元。
0 1=1
0 2=2
0 3=3
接着我们思考
1 □=0
2 □'=0
3 □''=0
我们把□定义为-1，既 □:=-1。按照这样的定义自然有
-1 -（-1）=0
又有
-1 1=0
再根据负元的唯一性，可得
-（-1）=1
但是这样的定义中小学学生还是会觉得不好理解。我们换个角度思考。因为减法是加法的逆运算。根据上面的加法算式可得
0=1-1
0=2-2
0=3-3
□=0-1
□'=0-2
□''=0-3
我们把 -1:=0-1。也就是把-1定义为0-1。一般地 -a:=0-a。
由此可知
-（-1）=-（0-1）=0-（0-1）=1
也就是说，可以从减法的封闭性来思考，把-1定义为0-1。再运用这个定义来进行推理。可以关注小修哦！
