四、平方数法

平方是一种特殊的乘法，很多数的平方算法是有规律的，我们掌握了这些规律并且记住一些常用的平方结果之后，把普通的乘法转换成乘方运算，就可以大大简化计算过程。

所谓平方数也叫做完全平方数，就是指这个数是某个整数的平方。也就是说一个数如果是另一个整数的平方，那么我们就称这个数为完全平方数。

例如：

1²=1　2²=4　3²=9

4²=16　5²=25　6²=36

7²=49　8²=64　9²=81

10²=100　…

其中，1、4、9、16、25…这些数为完全平方数。

（1）完全平方数的性质

观察这些完全平方数，我们可以发现它们的个位数、十位数、数字和等存在一定的规律性。根据这些规律，可以总结出完全平方数的一些常用性质。

性质1：完全平方数的末位数只能是1、4、5、6、9或者00。

换句话说，一个数字如果以2、3、7、8或者单个0结尾，那这个数一定不是完全平方数。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。

证明：

奇数必为下列五种形式之一，即

10a 1，10a 3，10a 5，10a 7，10a 9。

分别平方后，得

（10a 1）²=100a² 20a 1=20a×（5a 1） 1

（10a 3）²=100a² 60a 9=20a×（5a 3） 9

（10a 5）²=100a² 100a 25=20×（5a² 5a 1） 5

（10a 7）²=100a² 140a 49=20×（5a² 7a 2） 9

（10a 9）²=100a² 180a 81=20×（5a² 9a 4） 1

综合以上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1、5、9，十位数字为偶数。

同理可证明偶数的平方的个位数一定是偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为：

（2k 1）²=4k（k 1） 1

（2k）²=4k²

性质5：奇数的平方是8n 1型；偶数的平方为8n或8n 4型。

在性质4的证明中，由k（k 1）一定为偶数可得到（2k 1）²是8n 1型的数；由该数为奇数或偶数可得（2k）²为8n型或8n 4型的数。

性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k、3k 1。

因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m、3m 1、 3m 2。各自平方后，分别得：

（3m）²=9m²=3k

（3m 1）²=9m² 6m 1=3k 1

（3m 2）²=9m² 12m 4=3k 1

性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为5k /-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。

性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m、16m 1、16m 4、16m 9。

记住完全平方数的这些性质有利于我们判断一个数是不是完全平方数。为此，要记住以下结论：

①个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数。

②个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。

③个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。

④奇数的平方的十位数字为偶数；奇数的平方的个位数字是奇数；偶数的平方的个位数字是偶数。

⑤除以3的余数只能是0或1；形如3n 2型的整数一定不是完全平方数。

⑥除以4的余数只能是0或1；形如4n 2和4n 3型的整数一定不是完全平方数。

⑦形如5n±2型的整数一定不是完全平方数。

⑧形如8n 2、8n 3、8n 5、8n 6、8n 7型的整数一定不是完全平方数。

⑨约数个数为奇数；否则不是完全平方数。

⑩两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数。

（2）常用的平方公式

①平方差公式：

x²－y²=（x－y）（x y）

②完全平方和公式：

（x y）²=x² 2xy y²

...

（x－y）²=x²－2xy y²

（3）常用的平方数

牢记一些常用的平方数，特别是11～30以内的数的平方，可以很好地提高计算速度。

11²=121

12²=144

13²=169

14²=196

15²=225

16²=256

17²=289

18²=324

19²=361

20²=400

21²=441

22²=484

23²=529

24²=576

25²=625

26²=676

27²=729

28²=784

29²=841

30²=900

1．任意两位数的平方

方法：

（1）用ab来表示要计算平方的两位数，其中a为十位上的数，b为个位上的数。

（2）结果的第一位为a²，第二位为2ab，第三位为b²。记作：a²/2ab/b²。

（3）斜线只作区分之用，后面只能有1位数字，超出部分进位到斜线前面。

例子：

（1）计算13²=　　　　　。

解：

结果为　169。

所以　13²=169

（2）计算62²=　　　　　。

解：

进位后结果为3844。

所以　62²=3844

（3）计算57²=　　　　　。

解：