第1章　函数、图像和直线　　1

1.1　函数　　1

1.2　反函数　　6

1.3　函数的复合　　10

1.4　奇函数和偶函数　　12

1.5　线性函数的图像　　14

1.6　常见函数及其图像　　16

第2章　三角学回顾　　21

2.1　基本知识　　21

2.2　扩展三角函数定义域　　23

2.3　三角函数的图像　　29

2.4　三角恒等式　　32

第3章　极限导论　　34

3.1　极限：基本思想　　34

3.2　左极限与右极限　　36

3.3　何时不存在极限　　37

3.4　在∞和-∞处的极限　　38

3.5　关于渐近线的两个常见误解　　41

3.6　三明治定理　　43

3.7　极限的基本类型小结　　45

第4章　求解多项式的极限问题　　47

4.1　x → a时的有理函数的极限　　47

4.2　x → a时的平方根的极限　　50

4.3　x → ∞时的有理函数的极限　　51

4.4　x → ∞时的多项式型函数的极限　　56

4.5　x → -∞时的有理函数的极限　　59

4.6　包含绝对值的函数的极限　　61

第5章　连续性和可导性　　63

5.1　连续性　　63

5.2　可导性　　71

第6章　求解微分问题　　84

6.1　使用定义求导　　84

6.2　用更好的办法求导　　87

6.3　求切线方程　　98

6.4　速度和加速度　　99

6.5　导数伪装的极限　　101

6.6　分段函数的导数　　103

6.7　直接画出导函数的图像　　106

第7章　三角函数的极限和导数　　111

7.1　三角函数的极限　　111

7.2　三角函数的导数　　124

第8章　隐函数求导和相关变化率　　132

8.1　隐函数求导　　132

8.2　相关变化率　　138

第9章　指数函数和对数函数　　148

9.1　基础知识　　148

9.2　e 的定义　　153

9.3　对数函数和指数函数求导　　158

9.4　求解指数函数或对数函数的极限　　161

9.5　取对数求导法　　169

9.6　指数增长和指数衰变　　173

9.7　双曲函数　　178

第10章　反函数和反三角函数　　181

10.1　导数和反函数　　181

10.2　反三角函数　　187

10.3　反双曲函数　　199

第11章　导数和图像　　202

11.1　函数的极值　　202

11.2　罗尔定理　　206

11.3　中值定理　　209

11.4　二阶导数和图像　　212

11.5　对导数为零点的分类　　215

第12章　绘制函数图像　　219

12.1　建立符号表格　　219

12.2　绘制函数图像的全面方法　　224

12.3　例题　　225

第13章　最优化和线性化　　239

13.1　最优化　　239

13.2　线性化　　249

13.3　牛顿法　　258

第14章　洛必达法则及极限问题总结　　263

14.1　洛必达法则　　263

14.2　关于极限的总结　　273

第15章　积分　　276

15.1　求和符号　　276

15.2　位移和面积　　283

第16章　定积分　　293

16.1　基本思想　　293

16.2　定积分的定义　　297

16.3　定积分的性质　　301

16.4　求面积　　305

16.5　估算积分　　313

16.6　积分的平均值和中值定理　　316

16.7　不可积的函数　　319

第17章　微积分基本定理　　321

17.1　用其他函数的积分来表示的函数　　321

17.2　微积分的第一基本定理　　324

17.3　微积分的第二基本定理　　328

17.4　不定积分　　329

17.5　怎样解决问题：微积分的第一基本定理　　331

17.6　怎样解决问题：微积分的第二基本定理　　336

17.7　技术要点　　344

17.8　微积分第一基本定理的证明　　345

第18章　积分的方法I　　347

18.1　换元法　　347

18.2　分部积分法　　356

18.3　部分分式　　361

第19章　积分的方法II 　　373

19.1　应用三角恒等式的积分　　373

19.2　关于三角函数的幂的积分　　376

19.3　关于三角换元法的积分　　384

19.4　积分技巧总结　　391

第20章　反常积分：基本概念　　393

20.1　收敛和发散　　393

20.2　关于无穷区间上的积分　　398

20.3　比较判别法(理论)　　400

20.4　极限比较判别法(理论)　　402

20.5　p 判别法(理论) 　　405

20.6　绝对收敛判别法　　407

第21章　反常积分：如何解题　　410

21.1　如何开始　　410

21.2　积分判别法总结　　413

21.3　常见函数在∞和-∞附近的表现　　414

21.4　常见函数在0附近的表现　　426

21.5　如何应对不在0或1处的瑕点　　432

第22章　数列和级数：基本概念　　434

22.1　数列的收敛和发散　　434

22.2　级数的收敛与发散　　438

22.3　第n项判别法(理论) 　　442

22.4　无穷级数和反常积分的性质　　443

22.5　级数的新判别法　　447

第23章　求解级数问题　　455

23.1　求几何级数的值　　455

23.2　应用第n项判别法　　457

23.3　应用比式判别法　　457

23.4　应用根式判别法　　461

23.5　应用积分判别法　　462

23.6　应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法　463

23.7　应对含负项的级数　　468

第24章　泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论　472

24.1　近似值和泰勒多项式　　472

24.2　幂级数和泰勒级数　　478

24.3　一个有用的极限　　485

第25章　求解估算问题　　487

25.1　泰勒多项式与泰勒级数总结　　487

25.2　求泰勒多项式与泰勒级数　　488

25.3　用误差项估算问题　　491

25.4　误差估算的另一种方法　　499

第26章　泰勒级数和幂级数：如何解题　　502

26.1　幂级数的收敛性　　502

26.2　合成新的泰勒级数　　508

26.3　利用幂级数和泰勒级数求导　　517

26.4　利用麦克劳林级数求极限　　519

第27章　参数方程和极坐标　　523

27.1　参数方程　　523

27.2　极坐标　　528

第28章　复数　　538

28.1　基础　　538

28.2　复平面　　541

28.3　复数的高次幂　　544

28.4　解zn = w 　　545

28.5　解ez = w 　　550

28.6　一些三角级数　　552

28.7　欧拉恒等式和幂级数　　554

第29章　体积、弧长和表面积　　556

29.1　旋转体的体积　　556

29.2　一般立体体积　　567

29.3　弧长　　571

29.4　旋转体的表面积　　574

第30章　微分方程　　578

30.1　微分方程导论　　578

30.2　可分离变量的一阶微分方程　　579

30.3　一阶线性方程　　581

30.4　常系数微分方程　　585

30.5　微分方程建模　　595

附录A　极限及其证明　　598

A.1　极限的正式定义　　598

A.2　由原极限产生新极限　　602

A.3　极限的其他情形　　606

A.4　连续与极限　　611

A.5　再谈指数函数和对数函数　　616

A.6　微分与极限　　618

A.7　泰勒近似定理的证明　　627

附录B　估算积分　　629

B.1　使用条纹估算积分　　629

B.2　梯形法则　　632

B.3　辛普森法则　　634

B.4　近似的误差

有了这本“利器”，希望大家在这段时间能够学好微积分。在疫情结束之前，我们还是不能放松警惕，希望大家能少聚集，勤洗手，多读书，多思考，说不定，你就是下一个牛顿！