【分析】（1）利用平角求出∠APD＝60°，即可得出结论；

（2）先求出∠COD＝45°，进而判断出点D，P，E在同一条直线上，求出∠CED，即可得出结论；

（3）①当点P在半径OA上时，利用（2）的方法求出∠CFD＝60°，∠COD＝120°，利用三角函数求出CD，进而求出DF，再用勾股定理求出OH，即可求出OP即可得出结论；

②当点P在半径OB上时，同①方法求出BP＝3，即可得出结论．

【解答】∠CPD是直径AB的“回旋角”，

理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，

∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠BPC＝∠APD，∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；

（2）如图1，∵AB＝26，∴OC＝OD＝OA＝13，

∴n＝45，∴∠COD＝45°，

作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，∴∠BPC＝∠OPE，

∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，∴∠APD＝∠BPC，∴∠OPE＝∠APD，

∵∠APD ∠CPD ∠BPC＝180°，∴∠OPE ∠CPD ∠BPC＝180°，

∴点D，P，E三点共线，∴∠CED＝1/2∠COD＝22.5°，

∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，∴∠CPD＝45°，

即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，

（3）①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，

∴PF＝PC，同（2）的方法得，点D，P，F在同一条直线上，

∵直径AB的“回旋角”为120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，

∴△PCF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，

连接OC，OD，∴∠COD＝120°，

过点O作OG⊥CD于G，

∴PD PC＝24，

∵PC＝PF，∴PD PF＝DF＝24，

过O作OH⊥DF于H，

∴DH＝1/2DF＝12，

在Rt△OHD中，利用勾股定理可得OH＝5，

在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，∴AP＝OA﹣OP＝3；

②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝23，

即：满足条件的AP的长为3或23．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，三点共线，锐角三角函数，勾股定理，新定义，正确作出辅助线是解本题的关键．