类型4 研究性问题

例4．（2018秋•锡山区期中）（1）问题背景

如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为弧BmC上一动点（不与B，C重合），求证： √2PA＝PB PC．

请你根据图中所给的辅助线，给出作法并完成证明过程．

（2）类比迁移

如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸

如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝4/3AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为_______．

【分析】（1）将△ACP绕点A顺时针旋转90°到△ABQ的位置，由旋转的性质可得：∠QBA＝∠PCA，AP＝AQ，PC＝QB，根据圆的内接四边形的性质可证点Q，点B，点P共线，根据勾股定理可证√2AP＝PQ＝PC PB；

（2）连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△EAB，连接OB，OE，则可得EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC，根据勾股定理可求OE＝3√2，根据三角形三边关系可得BE≥OE﹣OB＝3√2﹣3 （当点B在OE上时，取等号），即可求OC的最小值；

（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ＝4/3OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ＝4/3OC，当BQ最小时，OC最小．

【解答】（1）将△ACP绕点A顺时针旋转90°到△ABQ的位置．

证明如下：∵BC是直径,∴∠BAC＝90°＝∠BPC

∵AB＝AC,∴∠ACB＝∠ABC＝45°

由旋转可得∠QBA＝∠PCA，PA＝AQ，PC＝QB

∵∠PCA ∠PBA＝180°,∴∠QBA ∠PBA＝180°,∴Q，B，P三点共线

∴∠QAB ∠BAP＝∠BAP ∠PAC＝90°,∴QP²＝AP² AQ²＝2AP²

∴QP＝√2AP＝QB BP＝PC PB,∴√2AP＝PC PB

（2）如图2：连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△EAB，连接OB，OE，

∵AB⊥AC, ∴∠BAC＝90°

由旋转可得：EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC

∴∠EAB ∠BAO＝∠BAO ∠OAC＝90°,

∴OC最小值是3√2﹣3

（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ＝4/3OA，连接OQ，BQ，OB．