在前两篇文章里，长尾君给大家介绍了麦克斯韦方程组的积分和微分形式。大家也都知道麦克斯韦从这套方程组里推导出了电磁波，然后通过计算发现电磁波的速度正好等于光速。于是，麦克斯韦就预言“光是一种电磁波”，这个预言后来被赫兹证实。

电磁波的发现让麦克斯韦和他的电磁理论走上了神坛，也让人类社会进入了无线电时代。你现在可以随时给远方的朋友打电话，能用手机刷长尾科技的文章，都跟电磁波有着密切的关系。那么，麦克斯韦到底是怎么从麦克斯韦方程组推导出电磁波方程的呢？这篇文章我们就来一起见证这一奇迹的时刻。

01什么是波？

要理解电磁波，首先我们得了解什么是波？有些人可能觉得这个问题有点奇怪，什么是波这还用问么？我丢一块石头到水里，水面上就会形成一个水波；我抖动一根绳子，绳子上就会就会出现一个波动。生活中还有很多这种波动现象，我虽然读书少，但是什么是波还是知道的。

没错，水波、绳子上的波动这些都是波，我在这里抛出“什么是波？”这个问题并不是想来掰指头数一数哪些东西是波，哪些不是，而是想问：所有这些叫作波的东西有什么共同的特征？我们如何用一套统一的数学语言来描述波？

我们研究物理，就是从万千变化的自然界的各种现象里总结出某种一致性，然后用数学的语言定量、精确的描述这种一致的现象。现在我们发现了水波、绳子上的波等许多现象都有这样一种波动现象，那我们自然就要去寻找这种波动现象背后统一的数学规律，也就是寻找描述波动现象的方程，即波动方程。

为了寻找统一的波动方程，我们先来看看最简单的波：抖动一根绳子，绳子上就会出现一个波沿着绳子移动，以恒定的频率抖动就会出现连续不断的波。

为了更好地研究绳子上的波动，我们先建立一个坐标系，然后把注意力集中到其中的一个波上。于是，我们就看到一个波以一定的速度v向x轴的正方向（右边）移动，如下图：

那么，我们该如何去描述这种波动呢？

首先，我们知道一个波是在不停地移动的，上图只是波在某个时刻的样子，它下一个时刻就会往右边移动一点。移动了多少也很好计算：因为波速为v，所以Δt时间以后这个波就会往右移动v·Δt的距离。

另外，我不管这个时刻波是什么形状的曲线，反正我可以把它看成一系列的点（x,y）的集合，这样我们就可以用一个函数y=f(x)来描述它（函数就是一种对应（映射）关系，在函数y=f(x)里，每给定一个x，通过一定的操作f(x)就能得到一个y，这一对（x,y）就组成了坐标系里的一个点，把所有这种点连起来就得到了一条曲线）。

然后，y=f(x)只是描述某一个时刻的波的形状，如果我们想描述一个完整动态的波，就得把时间t考虑进来。也就是说我们的波形是随着时间变化的，即：我绳子上某个点的纵坐标y不仅跟横轴x有关，还跟时间t有关，这样的话我们就得用一个二元函数y=f(x,t)来描述一个波。

这一步很好理解，它无非告诉我们波是随时间（t）和空间（x）变化的。但是这样还不够，世界上到处都是随着时间、空间变化的东西，比如苹果下落、篮球在天上飞，它们跟波的本质区别又在哪呢？

02波的本质

仔细想一下我们就会发现：波在传播的时候，虽然不同时刻波所在的位置不一样，但是它们的形状始终是一样的。也就是说前一秒波是这个形状，一秒之后波虽然不在这个地方了，但是它依然是这个形状，这是一个很强的限制条件。有了这个限制条件，我们就能把波和其它在时间、空间中变化的东西区分开了。

我们这样考虑：既然用f(x,t)来描述波，那么波的初始形状（t=0时的形状）就可以表示为f(x,0)。经过了时间t之后，波速为v，那么这个波就向右边移动了vt的距离，也就是把初始形状f(x,0)往右移动了vt，那么这个结果可以这样表示：f(x-vt,0)。

为什么把一个函数的图像往右移动了一段vt，结果却是用函数的自变量x减去vt，而不是加上vt呢？这是一个中学数学问题，我这里稍微帮大家回顾一下：你们想，如果我把一个函数图像f(x)往右移动了3，那么我原来在1这个地方的值f(1)，现在就成了4这个地方的函数值。所以，如果你还想用f(x)这个函数，那肯定就得用4减去3（这样才能得到f(1)的值），而不是加3（4 3=7，f(7)在这里可没有什么意义）。

所以，如果我们用f(x,t)描述波，那么初始时刻（t=0）的波可以表示为f(x,0)。经过时间t之后的波的图像就等于初始时刻的图像往右移动了vt，也就是f(x-vt,0)。于是，我们就可以从数学上给出波运动的本质：

也就是说，只要有一个函数满足f(x,t)=f(x-vt,0)，满足任意时刻的形状都等于初始形状平移一段，那么它就表示一个波。水波、声波、绳子上的波、电磁波、引力波都是如此，这也很符合我们对波的直观理解。

这里我们是从纯数学的角度给出了波的一个描述，下面我们再从物理的角度来分析一下波的形成原因，看看能不能得到更多的信息。

03张力

一根绳子放在地上的时候是静止不动的，我们甩一下就会出现一个波动。我们想一想：这个波是怎么传到远方去的呢？我们的手只是拽着绳子的一端，并没有碰到绳子的中间，但是当这个波传到中间的时候绳子确实动了，绳子会动就表示有力作用在它身上（牛爵爷告诉我们的道理），那么这个力是哪里来的呢？

稍微分析一下我们就会发现：这个力只可能来自绳子相邻点之间的相互作用，每个点把自己隔壁的点“拉”一下，隔壁的点就动了（就跟我们列队报数的时候只通知你旁边的那个人一样）这种绳子内部之间的力叫张力。

张力的概念也很好理解，比如我们用力拉一根绳子，我明明对绳子施加了一个力，但是这根绳子为什么不会被拉长？跟我的手最近的那个点为什么不会被拉动？