再对比一下三维的▽算子：
所以，我们把上面的结果（梯度的散度）写成▽²也是非常容易理解的，它跟▽算子的差别也就是每项多了一个平方。于是，拉普拉斯算子▽²就自然可以写成这样：
从拉普拉斯算子▽²的定义我们可以看到，似乎它只能对作用于标量函数（因为你要先取梯度），但是我们把▽²稍微扩展一下，就能让它也作用于矢量函数V（x,y,z）。我们只要让矢量函数的每个分量分别去取▽²，就可以定义矢量函数的▽²：
定义了矢量函数的拉普拉斯算子，我们稍微注意一下下面的这个结论（课下自己去证明）：
然后再看看中间的那个东西，是不是有点眼熟？
我们在求电场旋度的旋度的时候，不就刚好出现了（▽·▽）E这个东西么？现在我们就可以理直气壮地把它替换成▽²E了，于是，电场旋度的旋度就可以写成这样：
▽×（▽×E）=▽（▽·E）-（▽·▽）E=▽（▽·E）-▽²E。
至此，我们利用矢量的三重积公式推电场E的旋度的旋度的过程就结束了，然后我们就得到了这个极其重要的结论：
它告诉我们：电场的旋度的旋度等于电场散度的梯度减去电场的拉普拉斯。有了它，电磁波的方程立马就可以推出来了。
14见证奇迹的时刻
我们再来看看真空中的麦克斯韦方程组：
它的第三个方程，也就是法拉第定律是这样表示的：
我们对这个公式两边都取旋度，左边就是上面的结论，右边无非就是对磁感应强度B取个旋度，即：
你看看这几项，再看看真空中的麦克斯韦方程组：方程1告诉我们▽·E=0，方程4告诉我们▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t），我们把这两项代入到上面的式子中去，那结果自然就变成了：
μ0、ε0都是常数，那右边自然就变成了对电场E求两次偏导。再把负号整理一下，最后的式子就是这样：
嗯，于是我们就神奇般的把磁感应强度B消掉了，让这个方程只包含电场E。我们再对比一下我们之前唠叨了那么多得出的经典波动方程：
我们在推导经典波动方程的时候只考虑了一维的情况，因为我们只考虑波沿着绳子这一个维度传播的情况，所以我们的结果里只有∂²f/ ∂x²这一项。如果我们考虑三维的情况，那么不难想象波动方程的左边应该写成三项，这三项刚好就是f的三维拉普拉斯：
所以我们的经典波动方程其实可以用拉普拉斯算子写成如下更普适的形式：
再看看我们刚刚从麦克斯韦方程组中得到的电场方程：
嗯，我们推出的电场的方程跟经典波动方程的形式是一模一样的，现在我们说电场E是一个波，你还有任何异议么？
我们把电场E变成了一个独立的方程，代价是这个方程变成了二阶（方程出现了平方项）的。对于磁场，一样的操作，我们对真空中麦克斯韦方程组的方程4（▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t））两边取旋度，再重复一次上面的过程，就会得到独立的磁感应强度B的方程：
这样，我们就发现E和B都满足波动方程，也就是说电场、磁场都以波动的形式在空间中传播，这自然就是电磁波了。
15电磁波的速度
对比一下电场和磁场的波动方程，你会发现它们是形式是一模一样的（就是把E和B互换了一下），这样，它们的波速也应该是一样的。对比一下经典波动方程的速度项，电磁波的速度v自然就是这样：
我们去查一下μ0、ε0的数值，μ0=4π×10^-7N/A²，ε0=8.854187818×10^ -12 (F/m)，代入进去算一算：
再查一下真空中的光速 c=299792458m/s。
前者是我们从麦克斯韦方程组算出来的电磁波的速度，后者是从实验里测出来的光速。有这样的数据做支撑，麦克斯韦当年才敢大胆的预测：光就是一种电磁波。
当然，“光是一种电磁波”在我们现在看来并不稀奇，但是你回顾一下历史：科学家们是在研究各种电现象的时候引入了真空介电常数ε0，在研究磁铁的时候引入了真空磁导率μ0，它们压根就跟光无关。麦克斯韦基于理论的美学和他惊人的数学才能，提出了位移电流假说（从推导里我们也可以看到：如果没有麦克斯韦加入的位移电流这一项，是不会有电磁波的），预言了电磁波，然后发现电磁波的速度只跟μ0、ε0相关，还刚好就等于人们测量的光速，这如何能不让人震惊？
麦克斯韦一直以为自己在研究电磁理论，但是当他的电磁大厦落成时，他却意外地发现光的问题也被顺手解决了，原来他一直在盖的是电磁光大厦。搞理论研究还可以买二送一，打折促销力度如此之大，惊不惊喜，意不意外？
总之，麦克斯韦相信自己的方程，相信光是一种电磁波，当赫兹最终在实验室里发现了电磁波，并证实它的速度确实等于光速之后，麦克斯韦和他的理论获得了无上的荣耀。爱因斯坦后来却因为不太相信自己的方程（认为宇宙不可能在膨胀）转而去修改了它，于是他就错失了预言宇宙膨胀的机会。当后来哈勃用望远镜观测到宇宙确实在膨胀时，爱因斯坦为此懊恼不已。
16结语
回顾一下电磁波的推导过程，我们就是在真空麦克斯韦方程组的方程3和方程4的两边取旋度，然后就很自然的得出了电磁波的方程，然后得到了电磁波的速度等于光速c。这里有一个很关键的问题：这个电磁波的速度是相对谁的？相对哪个参考系而言的？
在牛顿力学里，我们说一个物体的速度，肯定是相对某个参考系而言的。你说高铁的速度是300km/h，这是相对地面的，你相对太阳那速度就大了。这个道理在我们前面讨论的波那里也一样，我们说波的速度一般都是这个波相对于它所在介质的速度：比如绳子上的波通过绳子传播，这个速度就是相对于绳子而言的；水波是在波在水里传播，那么这个速度就是相对水而言的；声波是波在空气里传播（真空中听不到声音），声波的速度就自然是相对空气的速度。
那么，电磁波呢，从麦克斯韦方程组推导出的电磁波的速度是相对谁的？水？空气？显然都不是，因为电磁波并不需要水或者空气这种实体介质才能传播，它在真空中也能传播，不然你是怎么看到太阳光和宇宙深处的星光的？而且我们在推导电磁波的过程中也根本没有预设任何参考系。
于是当时的物理学家们就假设电磁波的介质是一种遍布空间的叫作“以太”的东西，于是大家开始去寻找以太，但是怎么找都找不到。另一方面，电磁波的发现极大地支持了麦克斯韦的电磁理论，但是它跟牛顿力学之间却存在着根本矛盾，这种情况像极了现在广义相对论和量子力学之间的矛盾。怎么办呢？
1879年，麦克斯韦去世，同年，爱因斯坦降生，这仿佛是两代伟人的一个交接仪式。麦克斯韦电磁理论与牛顿力学之间的矛盾，以及“以太”这个大坑都被年轻的爱因斯坦搞定了，爱因斯坦搞定它们的方法就是大名鼎鼎的狭义相对论。其实，当麦克斯韦把他的电磁理论提出来之后，狭义相对论的问世就几乎是必然的了，因为麦克斯韦的电磁理论其实就是狭义相对论框架下的理论，这也是它跟牛顿力学冲突的核心。所以，爱因斯坦才会把他狭义相对论的论文取名为《论动体的电动力学》。
麦克斯韦的电磁理论结束了一个时代，却又开启了一个新时代（相对论时代），它跟牛顿力学到底有什么矛盾？为什么非得狭义相对论才能解决这种矛盾？这些将是我后面要讨论的重点。我会尽力让大家看到科学的发展有它清晰的内在逻辑和原因，并不是谁拍拍脑袋就提出一个石破天惊的新理论出来的。
此外，电磁理论和牛顿力学的融合是人类解决两个非常成功却又直接冲突理论的一次非常宝贵的经验，这跟我们现在面临的问题（广义相对论和量子力学的冲突）非常类似。我希望能够通过这种叙述给喜欢科学的少年们一些启示，让他们以后面对广义相对论和量子力学冲突的时候，能够有一些灵感。
嗯，没错，我在期待未来的爱因斯坦~
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来源： 中科院高能所
