数学大师

文章来源：高中数学

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n 1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

【小结】此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意：余下的项具有如下的特点1、余下的项前后的位置前后是对称的。2、余下的项前后的正负性是相反的。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k 1时命题也成立。

【例】求证：1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .…… n(n 1)(n 2)(n 3) = [n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)]/5

证明：当n=1时，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立，

于是：1×2x3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .…… k(k 1)(k 2)(k 3) = [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5

则当n=k 1时有：

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 …… (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= 1×2×3×4 2×3×4*5 3×4×5×6 …… k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5 (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)*(k/5 1)

= [(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)(k 5)]/5

即n=k 1时原等式仍然成立，归纳得证

（常采用先试探后求和的方法）【例】1－2 3－4 5－6 …… （2n-1）-2n

方法一：（并项）求出奇数项和偶数项的和，再相减。

方法二：（1－2） （3－4） （5－6） …… [（2n-1）-2n]

方法三：构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。an=n(-1)^（n 1）

等差数列的判定
（1）a(n 1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。
（2）2a(n 1)=a(n) a(n 2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
（3）a(n)=kn b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
（4）S(n)=A(n)^2 B(n) [A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

特殊性质
在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,即，a(1) a(n)=a(2) a(n-1)=a(3) a(n-2)=···=2*a中

【例】数列：1，3，5，7，9，11中

a(1) a(6)=12 ;

a(2) a(5)=12 ;

a(3) a(4)=12 ;

即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。

数列：1，3，5，7，9中

a(1) a(5)=10 ;

a(2) a(4)=10 ;

a(3)=5=[a(1) a(5)]/2=[a(2) a(4)]/2=10/2=5 ;

即，若项数为奇数，和等于中间项的2倍，另见，等差中项。

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