当然，要理解这个定理，就需要学习更高级的数学知识了，这不在本文的范围之内。

压缩映射原理是泛函分析(functional analysis)这门学科中的非常重要的一个定理，是由波兰数学家巴拿赫于1922年提出的，他本人也是泛函分析这门学科重要的创始人之一。

巴拿赫1892年出生于波兰的克拉科夫，自小酷爱数学，但是命运却比较坎坷，为家境和第一次世界大战的原因，他没有完整且系统地接受过专业的数学训练。但他却靠着坚韧的毅力，通过自学获得了很多数学知识，结识了当时数学界的很多前辈。1917年，巴拿赫的第一篇论文发表在《克拉科夫科学院会报》上，并因此于1920年获得利沃夫工学院的助教职位，从此开启了他的数学生涯。

巴拿赫于1922年提出了巴拿赫不动点定理，1927年升为正教授。他引入了线性赋范空间这一概念，成为泛函分析的基础概念，并且证明了泛函分析中的三大定理：泛函延拓定理，共鸣定理和闭图像定理。他的名著《线性算子理论》是泛函分析发展学科历史上的里程碑，它的出版标志了这门学科的正式诞生。他本人也成为泛函分析领域研究的世界权威。

巴拿赫于1939年当选为波兰数学会主席，但不幸随即爆发了第二次世界大战，波兰被德军占领。巴拿赫在比较糟糕的境况下于1945年去世。

他和不仅是一位出色的数学家，也是一位出色的数学教育家，他培养了一大批青年，形成了强大的利沃夫泛函分析学派，为世界数学发展做出了杰出贡献。

泛函分析是现代数学的一个重要分支，主要是利用分析学的方法研究各种各样的函数空间，包括巴拿赫空间以及希尔伯特空间，以及空间上的算子理论。

泛函分析在其它各数学分支中都有广泛应用，比如积分方程，微分方程，以及在物理学，经济学等领域，尤其是宏观经济学中具有非常重要的地位。宏观经济学研究消费者长期选择行为的所使用的拉姆齐模型和变分法，来源就是泛函分析。

不动点问题也是数学中的一个重要研究问题，所谓某个函数f(x)的不动点，指的就是它的原像和像一致的点，即满足f(x)=x的点。当然数学家们的研究问题要远远比这复杂，诞生了三大重要的研究成果。其一便是本文介绍的度量空间上的巴拿赫不动点定理。它在证明微分方程解的存在性问题中具有极其重要的作用。

除此之外，在拓扑学领域还有布劳威尔(Brouwer)不动点定理，应用该定理可以证明很多非常有趣的事情。比如网上经常流传的一个很著名的数学问题：拿一张本地的地图铺在地面上，那么地图上总有一个点和该点所表示的实际的点相重合。

第三个就是集值映射领域的角谷静夫(Kakutani)不动点定理，那在经济学领域中有很重要的应用，是研究一般均衡理论的重要工具。

本文从一道简单的考研题目说起，引出了一个重要的数学分支——泛函分析，目的就是为了向大家展示，数学的探索是无穷无尽的，每念及此，屈原的那句话都会回响在笔者耳畔：路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！