在标准答案中，只能使用单调有界定理：

用这种方法来证明过程非常繁琐，需要使用两次数学归纳法，而且如果判卷子严格的话，哪怕有一步有漏洞或者省略，都不能得到满分。

那么下面来用一下本文介绍的压缩数列法来证明：

可以看出，用压缩数列法来证明非常简单，只需要一步即可完成。可以验证，在很多情况下，压缩数列法都是一种非常快捷的判断数列收敛的方法。感兴趣的同学可以找到更多的考研题目来试一试。

不过，这种方法并不在考研大纲范围内，因此如果在考研过程中大题证明题使用这种方法是不允许的。但是对于做选择题和填空题来讲，这不失是一种节约时间的好办法。

看了上面的例子，可能不少同学会感到非常惊讶，竟然还有这么简单且快捷的方法。但其实，这个方法也只是一个更高级定理的初等形式。这个更高级的定理便是历史上赫赫有名的——巴拿赫不动点定理(Banach fixed-point theorem)。

巴拿赫不动点定理，也叫压缩映射原理它的全文叙述如下：