同理, 我们对-1双重积分得到第一个反作用力-x²/2! 。这个反作用力产生了第二个反作用力，第二个又产生了第三个...结果就得到下面的式子：

上式用特定的方程描述正弦。其实，一个更简洁的方法是用微积分方程：

WolframAlpha查询结果

这个公式极具数学之美：

• 初始位置为 y
• 加速度（二阶导数y''）与当前位置相反（-y）

这个公式在正弦和余弦里都能得到验证。可是，一开始我是拒绝这个定义的。它和正弦的形象简直差之千里。然而，我没意识到它揭示了正弦的实质（“与当前位置相反的加速度”）。

正弦和 e 相互关联，而且e^x可用下式表述：