各位同学大家好，欢迎来到十点课堂，跟勇哥学物理，今天距离高考还有91天，我们分享的主题是万有引力定律。

万有引力一共分三次课讲，今天第一次课，讲的内容有：地月系统，近地和远地，万有引力与重力的关系。

万有引力-地月系统

地月系统指的是：地球与月球所组成的系统，也可以看作是中心天体与卫星所组成的系统。

在地月系统中，月球绕地球做匀速圆周运动，运行的周期为T（约为30天），运行的半径为r（约为38万千米），

还已知地球的半径R（约为6400千米）和引力常量G；

问已知这四个物理量可以求出哪些物理量？

已知月球运行的周期T，运行的半径r，地球的半径R，和引力常量G，可以求出哪些物理量？

在地月系统中，共有两个研究对象，分别是月球和地球，那么我们分别来进行研究。

先看月球，已知它的运行的周期为T，运行的半径为r，

知道周期就可以求出:

运行的角速度ω=2π/T，

运行的线速度v=2πr/T，

运行的向心加速度a=4π²r/T²，

这些运行的物理量，角速度、线速度和向心加速度都可以求出来。

那么知道了向心加速度，能否求出月球所受到的向心力呢？

F=ma。

我们知道加速度a，但是因为月球的质量m未知，所以向心力是不能求出的，

另外月球所受到的万有引力F=GMm/r²也是不可以求出来的，

关于月球，我们能够求出它运行的线速度、角速度和加速度，但是它的受力，向心力和万有引力是不能求出来的。

再来看中心天体地球

根据月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，我们可以写出公式，GMm/r²=m4π²r/T²。

公式化简之后，就可以求出中心天体的质量M=4π²r³/GT²，能求出它（地球）的质量了。

还已知的地球的半径R，我们把地球看作一个均匀的球体，它的体积V=4πR³/3，

有了质量和体积后，地球的平均密度ρ=M/V，就可以求出它的平均密度，带入之后化简得到密度ρ=3πr³/GT²R³.

在地月系统中，地月距离约为38万千米，我国发射的神舟飞船，距离地面的高度呢，只有300千米左右。

两者比较，神舟飞船的运行半径r就可以近似看成等于地球半径R，

当r≈R时，刚才求出来的密度ρ=3πr³/GT²R³，就可以化简为ρ=3π/GT²，

这样一来，宇航员在乘坐飞船时仅用一块手表就可以测定地球的平均密度，

因为他可以测出飞船绕地球运行一周所用的时间T（周期），代入ρ=3π/GT²就可以求出地球的平均密度。

总结一下，在地月系统中，我们可以求出月球运动的线速度，角速度和加速度，这些运动的物理量，它受力，向心力和万有引力是不能取出来的。

对于地球（中心天体）而言，我们可以求出它的质量M=4π²r³/GT²，

如果知道地球的半径，我们还可以求出地球的体积以及地球的平均密度。

这是地月系统当中已知一些物理量可以求出哪些物理量来。

万有引力-近地和远地

我们再来简单说一下近地和远地，有的老师总结成天上一式、地下一式。

什么是近地？

当在万有引力的题目中，题干中给出了重力加速度g和地球半径R，那么不管问题问什么，

先设近地卫星质量为m，地球的质量为M，

由万有引力等于重力得：GMm/R²=mg，

来推导出重要的公式-黄金代换GM=gR²

当万有引力的题干中给定了重力加速度g和地球半径R，在绝大多数情况下都要使用黄金代换GM=gR²，

它不能直接使用，必须设近地卫星质量为m，万有引力等于重力来进行推导。

如果题干中没有给定重力加速度g，而是给了自由落体或者抛体运动，那就利用自由落体和抛体运动求出当地的重力加速度g。

根据黄金代换GM=gR²，我们也可以求出地球的质量M=gR²/G，卡文迪许就是利用这个公式测定了地球的质量。

什么是远地？

远地也有一个明显的标志，就是在题干当中告诉我们，距地面的高度为h，

这时轨道的半径 r = 地球半径 R 距地面的高度h，r=R h，列出万有引力等于向心力的公式时，注意它的半径r=R h。

卫星在高空中绕地球飞行时，万有引力等于向心力，可以写出一连串的公式，注意这时候的运行半径r=R h。

因为卫星运行的高度 h 不同，所以它运行的线速度 v ，角速度 ω 和加速度 a 以及周期 T 都是不相同的，

根据万有引力提供向心力，我们就可以求出线速度 v ，角速度 ω 和加速度 a 以及周期 T这些物理量。

万有引力与重力的关系

最后我们简单的说一下万有引力与重力的关系，因为在之后的分享当中我们会讲到这方面的例题，所以今天先简单的了解一下知识点。

地球上的物体随着地球一起绕着地轴做匀速圆周运动，就需要有向心力，所以当物体放在地球上不同的位置上，万有引力的作用效果是不相同的。

在赤道上，万有引力F=重力G 向心力F向，

在两极上，物体与地轴在一条线上，这时候向心力F=0，所以万有引力F=重力G，

再强调一遍，在两极点上，万有引力等于重力，在赤道上，万有引力等于重力加上向心力，

如果在地球的其他纬度线上，万有引力有两个效果，一个是向心力，另外一个是重力，（三个力）满足平行四边形定则。

在我们做题的时候，经常把物体放到两极或者赤道，这两个特殊位置来进行分析。

我们今天的讲的内容比较多，讲了地月系统、近地和远地、以及万有引力和重力的关系，

请同学们仔细的听一下语音，我们今天的分享就到这里，谢谢大家，明天见。