图1 本华·曼德波罗 （1924-2010）
1967年，曼德波罗在美国《科学》杂志上发表了题目为《英国的海岸线有多长？》的一篇划时代标志性论文，阐述了分形的新思想。1977年，他又在巴黎出版了一部法文著作“Les objets fractals: forme, hasard et dimension”，并于同年在美国出版了其英文版“Fractals: Form, Chance and Dimension”（中译本《分形：形状、机遇和维数》），和“The Fractal Geometry of Nature”（中译本《大自然的分形几何》）。但是，历史好像也是分形的，相似的事件反复重演。像过去许多名著的命运一样，曼德波罗这三本书完全没有得到学术界应有的重视，直到1982年他第三本书的第二版出来后，才受到欧美社会的广泛关注，并迅速形成了“分形热”。此书后来被分形学界视为“分形学之圣经”。
曼德波罗于2010年10月14日辞世，生前是耶鲁大学数学系的荣休Sterling讲座教授、IBM荣休院士、1993年沃尔夫物理学奖获得者、美国国家科学院院士。
说起来有趣，分形几何学的数学历史从不同角度来说也同样具有相似性。类似于分形的思想可以追溯到瑞典数学家 Niels F. H. von Koch（1870-1924）。他从一个三角形的“岛”出发，通过对称性而把它的“海岸线”变成不断向更小尺度层次延伸的连续曲线，于是其长度也在不断增加并趋向于无穷。
其实，类似于分形几何的历史思想还可以往前追溯。不妨看一看图2。“我在看一本科学史书时注意到了这幅图。书上说这是中世纪、即13世纪期《圣经》中的一幅插图。意思是，上帝按照几何学设计了这个世界。我又搜索了一下这幅图；一些网站显示为《上帝计测宇宙》，描绘了作为宇宙建筑者的神（1250年绘制）。”2008年，时为上海交通大学数学系本科生的王雄同学在给我的电子邮件中如是说。他惊叹道，“那幅图的几何，很像一个曼德波罗分形图案！作为中世纪作品画成这样的效果，已经是非常不错了，很难想象会是别的什么”。王雄后来成了我的博士研究生，现在就读于香港城市大学，研究与分形相关的混沌理论。
图2 中世纪《圣经》中的一幅插图[1]
这里顺便提及，最早把分形几何引进中国的可能是中科院沈阳金属研究所的龙期威研究员，他曾是中国科学技术大学教授并任中科院国际材料物理中心主任。他率先把分形理论应用于金属断裂研究，并培养了把分形方法引入到裂隙岩体非连续变形、强度和断裂破坏行为研究的一位优秀学生，也就是四川大学现任校长谢和平院士。
现在回到本文的主题，即分形几何在电子技术中有什么潜在应用和发展前景？这里只讲两个启发性的例子：分形天线和分形电容器。
2.分形天线
图4 一些代表性的分形天线
分形天线是一种无线通信用的新概念天线。和传统天线相比，它在同样面积或体积的条件下具有最大的有效长度或周长。这种天线具有极端紧凑和多宽频带等特性，非常适合于RFID和移动通讯方面的应用。由于现代通信工具种类越来越多，体积也越来越小，因而需要把天线做得很小很小，而且越小越好。为此目的，把天线的形状做成分形是个好主意，因为这可以在同样面积的限制条件下把天线做得很长，而且还能取代多条天线而同时工作在几个不同频率区间之中。
把天线阵列设计成分形样子的做法早在1957年就出现了。它是由美国伊利诺伊大学电子工程系教授Raymond DuHamel 和学生 Dwight Isbell提出的对数周期阵列（log periodic array）。分形天线阵列与传统天线阵列设计相比，具有多频和宽频特性，可用于快速计算方向图，可有效地利用狭小地域来布置庞大的平面阵列，可实现低副瓣设计策略，等等。两种典型的分形阵列天线是康托（Cantor）集阵列和维尔斯特拉斯（Weierstrass） 线性阵列，目前多用于电视天线（图3）。
图3 分形阵列天线
基于分形结构来设计和优化单个天线的做法始于1988年，由波士顿大学教授Nathan Cohen首先提出，但相关的学术论文到了1995年才第一次正式发表。一些代表性的分形天线见图 4。
与传统天线相比，分形天线除了在缩小尺寸方面独具一格之外，还有其他优点，例如：可以利用其自相似性来增加工作频带数目和带宽，具有自加载特性而不需要额外的调谐线圈和电容等元器件或匹配电路来辅助其在宽带工作条件下达到阻抗匹配，还可以简化电路设计和降低系统造价，等等。据报道，基于分形设计的天线可以在UHF（862-928 MHz）频带的无线通信设备中GSM DCS（900MHz和1800MHz）双频移动天线系统中得到较好的应用。目前的研究主要集中在GSM（900MHz）、PCS （1900MHz）、蓝牙无线通信系统（2.4GHz）等方面。它不仅可以在个人手提（如cellular phone，即蜂窝电话）和其他无线移动设备 （如无线局域网中的laptop，即笔记本电脑、车载天线系统）中得到应用，还可望用于卫星通信系统和相控阵雷达系统。目前看来，如果相关的一些技术障碍（如多频道信号之间的相互干涉）能够取得突破，则分形天线的前景还是颇为诱人的。
当然，从数学的角度来看，严格地说这些例子都只是利用了有限分形、或者称为伪分形（如图5所示），因而尚有潜力可以挖掘。事实上，目前一切还在尝试之中，期待新的进展。
