图22 中国黄土高原中部山西省岢岚县的航拍照片

在物理化学领域中，在某些电化学反应过程里电极附近沉积的一些固态物质是以不规则的树枝形状向外增长的。在化学震荡反应、流体力学不稳定性、光学双稳器件动力学实验和分析中，都可以通过实际测量得到各种分形几何结构或者通过大型计算得到数据序列的分形维数。在工程技术领域里，已经出现了图像分析用的分形滤波器（fractal filter），使用分形编码（fractal coding）的图形分形压缩技术（fractal image compression），等等。

分形在工程技术中的众多应用反过来向数学提出了诸多新的问题和挑战。以上面谈及的分形电容器为例，在大学普通物理中介绍过如何来计算简单平板电容器的电容量：如图23 所示，假设两个相距为 d（单位：米 ）的同质电极的面积均为A（单位：平方米）。在电压差ΔU （单位：伏特）的作用下产生电场 E =ΔU / d （单位：伏特/米）。这时，电容器的电容量C （单位：法拉）及其存储的电能量J （单位：度）由下面两式给出：

图23 基本平板电容器

其中ε =8.85×10­（单位：法拉/米）是一个基本常数，ε 是两块平板电极之间媒质的相对介电常数（例如，真空为1，水为81）。

现在，一个显然是十分有用但还没有答案的数学问题是：对于上面描述的各种有限分形电容器，如何分别推导出由该分形几何参数决定的、计算其总电容量的解析表达式？工程技术人员在等待着数学家们的回答。

如上所述，从数学的角度来看，严格地说前面提到的所有例子都只是利用了有限分形（伪分形）。容易想象，真正的分形几何学还有很大的潜力等待开发和挖掘。希望在不久的将来，随着科学技术的进一步发展和突破，我们能够看到分形几何获得越来越多、也越来越成功的各种实际应用。

致谢

作者感谢 Maciej Ogorzalek教授提供了一些相关资料。文中没有标明出处的图片均从互联网上的无版权网页下载。

本文转自中科院系统所科普杂志《系统纵横》http://tcct.amss.ac.cn/sc-journal/2015/201502/20150263.pdf

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来源：集智俱乐部

编辑：圆周π小姐