很明显，这可是高度反直觉的。并且它被许多数学家视作数学中最为反常的一个结果。毕竟，在现实中，我们从未见过任何一个物体能凭空被复制成两个。事实上，它似乎挑战了物理中的质量守恒定律，即质量(在位移和旋转下)是不变的。但这个结果并非如此，似乎是在说一个物体的质量可以凭空变为原来的两倍？

不过，如果原来的质量是无限大的话。容易注意到无限大翻倍后还是无限大，那么从技术上看我们并没有打破物理法则。对于这个悖论更深层次的解释，可以搜搜其他相关的文章。

4、 蒙提霍尔问题

这个声名狼藉的问题表述如下：

假设你正参加一个游戏秀，给予了你拿走你选中的三扇门中的一扇门后的物品的自由。其中一扇后有轿车，另外两扇后各是一头羊，但你并不知道门后的物品。你选择一扇门后，记这扇门为1号门，而主持人知道门后的物品，打开了另外一扇门后有羊的门，记为3号门。然后主持人问道：“哪扇门后有羊呢？你想选择2号门吗？”。这时改变你的选择会对你更有利吗？

我问的人中，没有一个人能第一次就回答对。令人诧异的是，答案是最好换一扇门。

与其试着解释其中的缘由，我更希望推荐你们阅读维基百科的相关条目，阐述的非常到位，下面的故事也一样非常有趣：

“问问玛丽莲(Ask Mailyn)”的许多读者都不愿相信换门会导致更好的结果，而并不在意玛丽莲的解释。这个问题出现在Parade杂志后，有接近一万名读者，甚至包括接近一千名PhD写信给杂志，他们当中大部分都认为玛丽莲是错的。甚至在给予了解释、模拟、数学证明后，许多人依旧不能接受换门是最佳策略。甚至埃尔德什（Paul Erdos），史上最多产的数学家，直至在他看到电脑模拟证实以后，才能打消他的疑虑。

这一课告诉了我们，不要轻信自己的直觉。

5、 “加百列的号角”与油漆匠悖论

了解微积分的学生或许熟悉，“加百列的号角”是一个体积有限表面积无穷大的物体（用微积分的知识可以清晰地发现这一点）。

而它若在现实中，如果试着去漆上它，则会导致一些问题。油漆匠佯谬是说，我们可以填满这个号角（体积有限），但是却不可能完完全全的漆上它（表面积无限）。

“科赫雪花”是一种奇特的形状，与上例类似，它具有有限面积无限周长。事实上，第二个提到的曼德勃罗集也具有一样的性质！

6.巴塞尔问题

巴塞尔问题说，如果你将自然数各自平方取倒数加在一起，那么你会得到π²/6。