8、 有不同层次的无穷大

是的，有一些无穷大比其他的无穷更大。从学术角度而言，无穷大应该被称为基数，并且一个无穷大如果比另一个无穷大拥有更大的基数，则说它比另一个无穷大要大。（常规的自然数也是基数，但是无穷大的基数总是大于任何一个自然数的基数）

仍然有许多关于无穷大的基数的反直觉事实，例如，整数比奇数多吗？你可能理所当然的肯定，因为整数多出了一系列的偶数。但答案是否定的，因为他们拥有相同的基数。有理数多于整数吗？不，有理数与整数也一样多。

但是，康托发现实际上实数比有理数还要多。实数通常被认为是连续统，并且很长一段时间中，有过猜想，但至今并不能清晰的知道，是否有介于整数基数和连续统基数的无穷大？这个猜想被称为连续统猜想。

随后被发现，连续统猜想在通常意义下既非真也非假。它被证明并不能被证明或被证明为假（多读几遍，有点饶舌）。准确的说，保罗柯恩证明了连续统假设是独立于ZFC公理体系的，这是数学集合论中的标准公理体系。

9、 哥德尔不完备定理

简单的说，我们证明了有一些东西是不能被证明的。这个结果有大量初等的严格表述，我简单叙述如下：

(1) 任何一个足够强的系统存在一个命题既不能被证明也不能被证伪（例如连续统假设）

(2) 任何一个足够强的系统都不能证明它自身是不推出矛盾，即便它不能被推出矛盾

以上两条定义即著名的哥德尔不完备定理。显然，这些结果蕴含了巨大的意义，并不仅仅是数学上的，也有哲学上的。

10、 费马大定理

毕达哥拉斯定理声称，对于任何一个直角三角形，都有a² b²=c²。现在假定这些变量都是正整数。那么显然有解a=3,b=4,c=5,但是a=1.5,b=2,c=2.5就不对了，即便它也使得等式成立。可以发现，显然有无穷多对使得a，b，c都是整数的解。

但如果我们进一步考虑下面的问题呢，有多少对正整数解满足 a³ b³=c³？答案是没有。就算再把指数3换成5也如出一辙，也无解。

事实上，费马大定理称，任何指数大于2的上述等式，没有任何一组正整数。这个著名的问题在1637年作为猜想提出，花费了将近四个世纪才被解决，最终被安德鲁怀尔斯于1995年解决。