现在我们粗暴地让q=-1，于是就出现了

这个结果似乎还能令人接受，可是，q=-1毕竟是个“不合法”的条件，我们需要更合理的途径来安抚内心的不安。如果把这个级数的前n项和记做A(n)，我们现在动手来求 A(∞)。

哈！根据这个等式，我们又一次得到了 A(∞)=½ 的结果。这回貌似没有明显违法的地方了，警察来了也不怕。可是，总还是感觉哪里不对。

A(1)=1

A(2)=1-1=0

A(3)=1-1 1=1

…

可以看出A(n)在1和0之间来回跳动，按照极限的定义，

这个极限不存在。当我们写下A(∞)这个符号时，它究竟指代什么，还没有清楚的定义。其实这也是发散级数求和的基础问题：如何定义发散级数的和。

相关的定义不止一种。大体来说，主要有切萨罗求和与阿贝尔求和两类，另外拉马努金和黎曼等人也发展出许多更一般性的理论，中间还掺有源自欧拉的诸多贡献。那些数学语言虽严格，但催眠和劝退的副作用也不小，所以本文不打算纠结于那些从集合论谈起的基础定义，只使用非常“物理”的视角来定义： A(∞)表示所有 A(n)的平均值。