【解析】

（1）证明：

∵ 线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60° 到 AQ，

∴ AP = AQ，∠PAQ = 60°，

∴ △APQ 是等边三角形，∠PAC ∠CAQ = 60°，

∵ △ABC 是等边三角形，

∴ ∠BAP ∠PAC = 60°，AB = AC，

∴ ∠BAP = ∠CAQ，

在 △BAP 和 △CAQ 中，

BA = CA , ∠BAP = ∠CAQ，AP = AQ ,

∴ △BAP ≌ △CAQ（SAS），

∴ PB = QC；

（2）解：

∵ 由（1）得 △APQ 是等边三角形，

∴ AP = PQ = 3，∠AQP = 60°，

∵ ∠APB = 150°，

∴ ∠PQC = 150°﹣60° = 90°，

∵ PB = QC，

∴ QC = 4，

∴ △PQC 是直角三角形，

题型二 已知两边，找直角 HL

1.如图，BD = CF，FD⊥BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，BE = CD，若 ∠AFD = 145°，

则 ∠EDF 的度数为（ ）

A．45° B．55° C．35° D．65°

【解析】

∵ ∠DFC ∠AFD = 180°，∠AFD = 145°，

∴ ∠DFC = 35°，

∵ DE⊥AB，DF⊥BC，

∴ ∠BED = ∠CDF = 90°.

∵ 在 Rt△BDE 与 Rt△CFD 中 BE = CD，BD = CF，

∴ Rt△BDE ≌ △Rt△CFD，

∴ ∠BDE = ∠CFD = 35°.

∵ ∠EDF ∠BDE = 90°，

∴ ∠EDF = 55°.

故选 B.

2.如图，∠B = ∠D = 90°，BC = CD，∠1 = 40°，则 ∠2 = （ ）.

A．40° B．50° C．60° D．75°

【解析】

∵ ∠B = ∠D = 90°，

在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，

BC = CD , AC = AC ,

∴ Rt△ABC ≌ Rt△ADC（HL）

∴ ∠2 = ∠ACB = 90° - ∠1 = 50°．

故选：B．

3.如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为（　　）.