之后柯西得到了更多具有数学和物理意义的函数方程，并且开始系统研究函数方程的解，取得了很多结果。但实际上，许多重要而困难的函数方程问题直到后来才由阿贝尔解决，同时，阿贝尔极大地推进了椭圆函数论的发展，从而函数论的发展有了质的提升。

在欧拉和拉格朗日之前，数学家和物理学家所研究的函数都是在定义域上整体定义的，直到对物理中弦振动仔细研究之后，欧拉和拉格朗日才首先提出了在不同区间上有不同表达式的函数。当时来自物理的直观在很长一段时间里给数学家一种错觉，那就是同一区间上处处拥有相同函数值的两个函数完全是同一个函数，即它们有相同的表达式。但这种错误最终还是被傅里叶揭示出来。在傅里叶著名的《热的解析理论》中，他创造性地利用三角级数来表达函数，从而举出了反例：

从中我们可以看到，尽管两个函数的值可能处处相同，但它们可以有不同的表达式，所代表的意义也是可以不一样的，不能称之为完全相同的一个函数。傅里叶的结果一出，立即引发了数学界强烈的震动，即使是拉格朗日这样伟大的人物也一时难以接受。这些已经说明，对函数固有的直观认识已经不能满足数学发展的需要了。

在19世纪初期，古典函数概念的缺陷越发明显，如果说傅里叶所揭示的问题还不算大错特错，那么从狄利克雷开始，函数的古典概念将受到致命打击。在此之前，在微积分教材上都可以找到“连续函数在某些连续点一定是可导的”这样的结论，即使是当时的大数学家也不会觉得有什么问题。实际上，这样的错误认识主要是因为对函数的认识仍未摆脱直观想象，同时函数的连续性和可导性到底意味着什么，当时的数学家也没搞清楚。

狄利克雷在1829年迈出了微积分严格化的第一步，他给出了著名的狄利克雷函数：