对于这样连续却“没有导数”的函数，当时的著名法国数学家埃尔米特写到：“我简直惊恐万分，不愿意面对这样没有导数的连续函数，但很不幸，这就是事实！”。无数数学家的错误数学观念被这个函数冲垮了，它也再次说明，数学的灵魂是“严格”而非直觉。

当然，魏尔斯特拉斯并不满足于仅仅指出问题，他决心要结束关于微积分理论长达两百年的混战。魏尔斯特拉斯的伟大之处正在于，他可以从没有人关心的平凡细节中创造奇迹，可谓化腐朽为神奇。他观察到，真正决定函数性质的不是函数本身，而是实数，实数的性质完全决定了极限，连续，可微可导等函数概念，关于函数概念的含糊不清正是因为对实数的认识还不够。

从实数出发导出函数的各种概念，这样的想法受到了当时许多数学家的嘲讽，他们都认为魏尔斯特拉斯是在自寻烦恼。但魏尔斯特拉斯显然没有受这些干扰，他严格地构造完备实数系，并从实数系出发，定义函数的极限，连续性，可微可导性，可积性，级数的敛散性等等，从而一举解决了函数概念不严格的长期难题，把分析学建立在了严格坚实的数学基础之上，分析学的“算术化”也就圆满完成了。

关于魏尔斯特拉斯的伟大功绩，希尔伯特评价到：

“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的数学活动”。

康托的集合论出现之后，戴德金以更为现代的观点叙述了实数系的完备性定理，这些在如今的数学分析教材中都可以找到。但一波刚平，一波再起，之前提到过，黎曼积分有无法克服的困难，而这在分析学的严格化之后再度引发了一场数学风暴。当然，这已经是另一个故事了……