数学家们惊讶地发现，狄利克雷函数处处不连续，处处不可导，在任意区间上也不存在黎曼积分。狄利克雷函数极为“扭曲”的分析性质所带来的冲击甚至比傅里叶的例子还要大，对某些顽固的数学家来说，甚至是致命的，因为这个函数无法把它的图像直接画出来，完全没有任何解析性质，也就没法“想象”了。基于长期的考虑，1837年狄利克雷给出了我们今天所见到的函数定义：给定区间上的自变量x，都有唯一的因变量y与之对应，那么y是x的函数。集合论出现之后，1887年戴德金又给出了两个集合之间函数的定义，自此函数便有了摆脱直观而且明确的定义。

狄利克雷大概是历史上第一个真正考虑抽象函数的数学家，他关心函数的单调性，连续性，可导可积性等，而忽略函数的实际来源和物理几何意义，也就是说，狄利克雷关心的是函数本身的性质，而不是关于它的各种计算。应该说，从狄利克雷开始，对函数的认识实现了从具体到抽象的演变，而且事实证明，这不仅没有脱离实际，反而促进了函数的各种应用，因为数学想要发挥更大的作用，那么它本身必须要有坚实严格可信的基础。

狄利克雷算是开了个头，接下来柯西开始为极限和连续性等概念注入“严格”的灵魂，但他仍未摆脱“连续”的限制。在柯西的手中，他所考虑的函数都是连续的，这无论是对于数学本身还是物理等相关学科都是不够的。而突破连续性限制的第一人则是伟大的黎曼，在发展黎曼积分理论的过程中，黎曼给出了另一个著名的函数，也就是我们今天所说的黎曼函数：

黎曼函数在有理点不连续而在无理点连续，但出人意料的是它是可积的，这也就深刻揭示了可积函数与联系函数的巨大差异。但限于历史局限，黎曼也未能突破不连续点过多所带来的影响，这将留待后人解决。

分析学的严格化是数学史上长达百年的漫长过程，而这其中的集大成者正是大名鼎鼎的“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯。魏尔斯特拉斯被称为“数学流言终结者”，他在一生中凭借强大的数学直觉，针对一些错误的数学想法，构造出了非常多的反例，其中最出名的便是给出了“处处连续但处处不可导”的函数：