第一单元 《观察物体三》

1、根据一个方向观察到的形状摆小正方体，有多种摆法，无法确定立体图形的形状。

2、根据三个方向观察到的形状摆小正方体，只有1 种摆法。

3、从正面、左面、上面3个不同的方向观察同一组物体而画出的图形就是三视图。

5、由三视图拼摆正方体的方法：俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章。

6、先摆出符合正面的立体图形，再摆出符合上面的立体图形，最后确定立体图形。根据从正面、左面、上面观察到的平面图形还原立体图形只有唯一的一种情况。

7、不同角度观察一个物体 ， 看到的面都是两个或三个相邻的面。

8、至少用8个正方体可拼成较大的正方体，27个64个125个……都可拼成较大正方体。

第二单元 因数和倍数

一、因数和倍数。

在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数.

如整数a能被b整除(a÷b=c),那么a就是b和c的倍数，b和c就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。

因数：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

如：9的最小的因数是1，最大的因数是9。

又如：A的最小的因数是1，最大的因数是A。

一个数的因数的求法：成对地按顺序找,或用除法找。

如：15的因数：1、3、5、15

方法：15÷1＝15，15÷3＝5 （除法）

或 15＝1×15 15＝3×5 （乘法）

完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1 2 3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等

倍数：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

一个数的倍数的求法：依次乘自然数。

例如：6的倍数：6，12，18，24，30……

方法：6×1＝6，6×2＝12，6×3＝18，

6×4＝24，6×5＝30，6×6＝36……

二、自然数按能不能被2整除分为：奇数 偶数

奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。

如1、3、5、7、9、11……

偶数：是2的倍数的数叫做偶数。

如：2、4、6、8、10、12……

最小的奇数是1，最小的偶数是0。

2、3、5倍数的特征：

个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

个位上是0或5的数，是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。

同时是2、3、5的倍数，个位上是0并且各位上的数的和是3的倍数，这个数就同时是2、3、5的倍数。最大的两位数是90，最小的两位数是30，最小的三位数是120。

同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。

6的倍数既是2 的倍数，又是3的倍数。

（个位上是0，2，4，6，8且各位上的数的和是3的倍数）

同时是3、5的倍数的特征：个位上是0或5，且各位上的数的和是3的倍数。

三、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0.

质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。

如2,3,5,7，11，13,17,19……都是质数。

合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。如4,6,8,9，10,12,14，15,16,18,20,22,26，49……都是合数。合数至少有三个因数，1、它本身、别的因数

1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。

最小的质数是2，最小的合数是4。

20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）

（1）所有的奇数都是质数。不对，因为9是奇数，但不是质数，而是合数。

（2）所有的偶数都是合数。不对，因为2是偶数，但不是合数，是质数。

（3）在1,2,3,4,5,…中，除了质数以外都是合数。不对，因为1既不是质数也不是合数。（4）两个质数的和是偶数。不对，因为2是质数也是偶数，而其他的质数都是奇数，偶数＋奇数＝奇数。

四、100以内的质数（共 25 个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

五，奇数＋奇数＝偶数（如：5 7=12 3 5=8）

奇数＋偶数＝奇数（如：1 4=5 7 2=9）

偶数＋偶数＝偶数（如：2 4=6 8 6=14）

奇数×奇数＝奇数（如：5×7＝35 7×9＝63）

奇数×偶数＝偶数（如：5×8＝40 7×8＝56）

偶数×偶数＝偶数（如：8×12＝96 14×24＝336）

质数×质数=合数

分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。

比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）

六、公因数、最大公因数

几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个因数就叫它们的最大公因数。用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）例：12=2×2×3

用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）.

几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。两数互质的特殊情况：

⑴1和任何自然数互质；

⑵相邻两个自然数互质；

⑶两个质数一定互质；

⑷2和所有奇数互质；

⑸质数与比它小的合数互质；

如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。

如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。

两个数的公因数是它们最大公因数的因数。

七、公倍数、最小公倍数:几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。

用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）

用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）

如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。

如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。

两个数的公倍数是它们最小公因倍数的倍数。

互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

两个质数的互质数：5和7

两个合数的互质数：8和9

一质一合的互质数：7和8

求最大公因数和最小公倍数方法

用12和16来举例

1、 求法一：（列举求同法）

最大公因数的求法：

12的因数有：1、12、2、6、3、4

16的因数有：1、16、2、8、4

最大公因数是4

最小公倍数的求法：

12的倍数有：12、24、36、48、…

16的倍数有：16、32、48、…

最小公倍数是48

2、求法二：（分解质因数法）

12=2×2×3

16=2×2×2×2

最大公因数是：2×2=4 （相同乘）

最小公倍数是：2×2×3×2×2= 48 （相同乘× 不同乘）

3、求法三：短除法

用短除法求下列各组数的最大公因数。①12和18 ②34和102 ③ 12、24和36

想：用短除法求两个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数连乘起来，所得积就是这两个数的最大公因数。最小公倍数就是所有公因数连乘再乘最后的商。