▲ 从左至右, 1611-1685 英国数学家约翰·佩尔，1741-1808 德国数学家卡尔·弗里德里希·兴登堡，1793-1863 奥地利数学家雅各布·菲利普·库利克

为了将这项繁琐的筛选工作自动化，德国数学家卡尔·弗里德里希·兴登堡 (Carl Friedrich Hindenburg)使用一种可调节的滑块，可以一次性排除整张纸上的所有倍数。另一种技术含量低却高效的方法是使用模版来定位特定素数的倍数。到19世纪中叶，数学家雅各布·库利克(Jacob Kulik)开展了一项雄心勃勃的项目：找出 1 亿以内的所有素数。但直至库利克逝世，这些工作还没有完成，不过已经找出来的素数填满了 4212 页表格。

如果不是"数学王子"高斯(Carl Friedrich Gauss)决定对素数自身进行分析整理，19 世纪这样一套“大数据”的结果可能也仅限于用做素数参考表。

17 世纪，对数表的诞生大大推动了天文、航海的蓬勃发展。一本作为给高斯生日礼物的对数工具书后附录了一张300万以内的素数表，这个在旁人看起来无实际用途的表格却激发了他的强烈兴趣。他开始着手进行数据分析统计工作。

每次以 1000 为一组，分别计数这一范围内素数的个数。先计数 1000 以内素数的个数，接着是 1000 到 2000 之间，然后是 2000 到 3000 之间，以此类推，高斯开始对素数表的探索。

高斯发现，随着数值增大，素数出现的频率会逐渐降低，遵循“反对数”定律。虽然高斯的素数分布定理并没有算出素数数目的精确值，但他给出了一个非常好的近似值。例如，根据素数定理预测在 1000000 到 1001000 之间存在 72 个素数，而正确结果是 75，误差在 4% 左右。这令他提出一个猜想：，其中 为不大于 x 的素数个数。也就说当 x 趋近无限时，有下式成立：

而在这个猜想提出一个世纪之后，这个称之为素数定理(prime number theorem)才得到了证明。

▲ π(x), x/lnx 和 π(x)/(x/lnx) 的比较

随着素数计数范围越来越大，估计值与真实值的相对误差将趋近于 0。悬赏百万奖金，位列当今数学界七大难题之一的黎曼猜想(Riemann hypothesis)，也描述了高斯定理估算的精确程度。

素数定理和黎曼猜想已经得到了人们的广泛关注，但它们在早期，都是从枯燥的素数表数据分析开始的。现在，我们获取数据的方式都来自于计算机程序的运算，不再需要手算筛选，但数学家们仍在寻找素数研究的新模式。除了 2 和 5 之外，所有素数都以 1，3，7 或 9 结尾。19 世纪，人们发现这几个末位数字在素数中存在相同的出现频率。换句话说，如果你计数到 100 万，25%的素数末位为 1，25% 末位为 3，25% 末位为 7，25% 末位为 9。

除了 2 和 5 之外，所有素数都以 1，3，7 或 9 结尾。19 世纪，人们发现这几个末位数字在素数中存在相同的出现频率。

▲ 图表来自：The Conversation, CC-BY-ND，作者Martin Weissman

几年前，斯坦福大学的数论学家莱姆克·奥利弗(Lemke Oliver) 和坎南·桑德拉贾恩(Kannan Soundararajan)在实验中观察素数及其下一个相邻素数的末位数字规律，意外发现了一个问题。例如，23 之后的素数是 29，它们的末位数字是前 3 后 9。那么，相邻两个素数的末位数字，是前 3 后 9 常见，还是前 3 后 7 常见呢?