数学王子高斯，在复数的发展史上作出了巨大贡献

同样为了研究的方便，我们将复数表示在平面直角坐标系中。

当然这个平面直角坐标系我们更专业的讲法叫做复平面，横轴叫做实轴，纵轴叫做虚轴。于是复平面上的点就表示一个复数，(a,b)这个点表示的就是a bi。

复数的坐标表示跟向量非常的相似，我们同样可以定义复数的模长，即该点到坐标原点的距离。

同样的符号又一次出现了！我们又一次用绝对值的符号来表示距离。所以写到这里，小伙伴们应该已经明白绝对值究竟是个什么东西了。实数的绝对值，向量的模长，复数的模长，三者从本质上讲都是一样的。

不出意外地，复数的模长也满足下面三个性质，其中z和w都表示复数。

其中第(1)条和第(3)条比较简单，第(2)条的证明比较复杂，需要使用复数的极坐标表示，即把一个复数写成模与辐角的形式来计算。

其实，魏尔斯特拉斯当初在发明绝对值的时候，已经意识到了这一点。他自己就曾说过：复数的模实际上就相当于它的绝对值。由此可见，魏尔斯特拉斯发明绝对值这个概念，就是从距离的角度来考虑的。

写到这里，故事似乎就应该结束了，我们非常成功地用一个概念“绝对值”，把数的距离，向量的模长，复数的模长这三个彼此不同的对象统一于同一个框架之下。

但是！人类的数学已经发展了2000多年，所研究的内容包罗万象，只有上面的三个东西才有“绝对值”吗？当然不是。

进入20世纪以来，数学逐渐从研究具体的概念对象，转为研究抽象的形式对象，从而逐渐走上了抽象化与公理化的道路。