大一的学生上高数的时候，往往会被老师告知，当s<=1的时候，∑1/n^s是发散的，这个结论在s为实数域是没错的，但是一旦把s的范围解析延拓到复数域，那么除了s=1以外，s在整个复数域都是收敛的。也就是说，全体自然数之和在s解析延拓后是收敛的，那么究竟等于多少呢？黎曼告诉我们——全体自然数之和=-1/12！！！（纳尼），许多同学或许感觉不可思议，的确，这个式子违背了我们的直觉，正数之和为什么会等于负数呢？下面小编就用最简单的方法证明一下为什么全体自然数之和等于-1/12。

我们重点来看一下最后推出的方程

重要的解析延拓方程

我们把s=2代入上面的式子，由于ζ（s）=∑1/n^s，因此∑n=2（2π）^-2*1!*cosπ*∑1/n^2,我们知道cosπ=-1，∑1/n^2=π^2/6，因此求得∑n=-1/12，也就是全体自然数之和等于-1/12！是不是很神奇呀。但是好奇心比较重的小伙伴可能会问，还有什么发散级数解析延拓后能够求和吗？答案是大部分发散级数在解析延拓后都能够求和。

关于发散级数求和主要有两种方法：zeta和borel求和，我重点来讲一下zeta求和，因为简单直观，下面我先给出zeta求和最重要的两个公式：

非交错级数求和