把欧拉公式绘制到复平面上（以实数轴和虚数轴建立坐标系），就会得到一个单位圆。

如果令 x = π, 我们就会得到如下方程：

了解到 cos π = -1 以及 sin π = 0, 右边就会出现 -1：

还可以通过等价变换来让方程变得更漂亮一点：

这样就更加深刻，包含了数学中 5 个最重要的数学常数：0、1、e、π 和 i。并且包含了三种最基本的算术运算：加法、乘法和幂运算。绝对令人惊讶的是，这些看似无关的数都被这个简洁的公式联系起来。

6174 是卡布列克常数(以印度数学家D. R. Kaprekar命名)，又称黑洞数。这个数有很有趣的特点，一个四位数如果按下面的方式反复计算，就会得到很神奇的结果。

• 取任意一个至少有 2 位数不同的四位数。
• 分别把这个四位数按升序和降序的方式重新排列，会得到两个新的两位数。
• 现在用这两个数中大数减小数。
• 如果不等 6174，重复第二步。

如果循环的次数足够多，最终会得到 6174。为什么无论选什么数字，都会得到 6174，这就是神奇之处了。可以另外再看几个示例，先用 2714 做个实验算下看看吧：

• 7421 -1247 = 6174

换个数字，再拿 3678 试一试：

• 8763 -3678 = 5085;
• 8550 -0558 = 7992;
• 9972 -2799 = 7173;
• 7731 -1377 = 6354;
• 6543 -3456 = 3087;
• 8730 -0378 = 8352;
• 8532 -2358 = 6174

这些数就像被吸入到黑洞里某个固定点中，故像 6174 这样的数也被称为黑洞数。而其他位数的数字也有类似的情况，比如 9 位数中有 2 个黑洞数： 554999445 和 864197532，感兴趣的朋友可以算下。

6174 还属于哈沙德数(Harshad number)，也被称为尼云数，是指能够被其各个数位上的数字之和整除的自然数：例如 6174/(6 1 7 4)=6174/18=343。这就又为该数添了一笔神秘色彩。

之前提及过这个黄金比例，但这可能是世界上最为重要的比例，以下是它的一些有趣的特性：