拙文《下旋球弧线的讨论》已述及，下旋球落台弹起方向有三种可能：向前、向上、向后（图1）。“回跳球”就是某次落台会向后弹起的下旋球。

“回跳球”实质上就是慢速的强下旋球。要想让击出的乒乓球在球台上能自动弹回来必须要同时符合两个条件：水平向前的初始球速很慢，即v0很小；下旋很强，即ω1很大（图2）。

1 要回答球为什么会回跳，当然首先是分析球在球台上弹跳过程受到了哪些水平向后的外力(分力)？因为只有水平向后的外力才能使向前的水平球速下降，甚至反向向后运动。

根据运动独立性原理，本文完全不涉及球在上下方向的受力和运动状态分析。判断是否回跳只需考察球从球台弹起瞬间在前后水平方向的分速度v即可。V大于零则球向前弹跳，v小于零则球向后弹跳（回跳）。

我们知道，乒乓球弹跳过程主要受到五个外力，即重力、空气浮力、空气玛格努斯力、空气阻力、球台碰撞作用力。注意，球台作用力仅仅在球落台相互接触的极短时间内存在，而前四个力全过程一直都是存在的。前三个力都是基本垂直于乒乓球前进方向的力，可看成对球的回跳无影响。因为球速慢，空气阻力也很小，可近似忽略不计。剩下只要考虑球台对球的作用力。球台法向弹力垂直于前后运动方向可看成无影响，不必考虑，所以我们只需要考察球台对强下旋球施加的水平向后的摩擦力了。该摩擦力主要由球对球台的相对运动状态（平动和转动）决定。

2 如果单独考察球台对下旋球球壳底部施加的摩擦力，根据刚体中力的平移原理（图2），乒乓球壳底部触台点A受到的水平向后的摩擦力F1可以平移到球心处F2，F2对整球前进产生向后的阻力和加速度f=ma，a < 0，从而减慢球速。摩擦力平移到球心的同时，还伴随着一个附加的力偶F1-F3，会产生使球如图中紫色箭头所示方向旋转ω2的力偶矩。简单说就是球落台时所受到的该摩擦力F1能同时使向前的球速v0和强下旋的转速ω1都叠加上一个负的速度at和一个负的角速度ω2。即每落一次台，球速和转速都会因该摩擦力的存在而减慢一点。所以向前弹跳过程的下旋球水平球速会经历一个变减速运动，甚至可能会反向运动。

3 根据以上受力分析具体看，下旋球每段在空气中弧线飞行(假设300毫秒左右)的水平运动状态都是不受力的匀速运动，即每次弹起的水平分速度v就是下一次的撞台水平分速度v0。而每次落台反弹(假设1毫秒)都看成是受到一个向后摩擦力的匀减速运动(v=v0 at，a总是为负值)。全程看，乒乓下旋球在球台上连续弹跳过程的水平运动状态是匀速飞行和撞台减速交替进行的变减速运动（图3）。

图3下部三个首尾相接的箭头表示三次弹跳后的水平速度递减，原因当然是落台时受到的反向摩擦力。

4 根据上述3的结论，乒乓球弹跳的水平速度在空气中不会减小，仅仅在每次落台反弹时会被减速。为简单起见，我们用匀减速运动的公式来近似乒乓球每次落台这个水平减速过程，则有v=v0 at。因为球、台接触时间极短1毫秒，应该误差不大。公式v=v0 at中，v0是碰台前的水平球速，v是碰台后弹起的水平球速。t是碰撞时间，假设为1毫秒。a是碰撞期间的平均加速度，直接由碰台时球所受水平向后的摩擦力F1决定，F=ma。

前面已经分析过，要让乒乓球向后回跳，就必须使弹起速度v为负值。要达此目的，v=v0 at公式右边碰台前的水平球速v0肯定是越小越有利，而a则是越负越有利，即向后的摩擦力越大越好。显然，球的下旋越强，则切向摩擦力越大。

如此一来，我们用v=v0 at<0 公式十分顺利地解释了本文开头提到的“回跳球”必备的两个主要条件：水平慢速和强下旋。

5 还有一个问题，“回跳球”会在何时回跳呢？

前文谈到下旋球落台弹跳过程时认为，定性来说向前球速越慢、下旋越强，则回跳越显著；向前球速越快、下旋越弱，则回跳越困难。 我们只要对每一次落台反弹应用一次v=v0 at公式计算一下，就很容易知道以上问题的答案。只要某次落台碰撞计算出来的反弹速度v小于零，则此跳就是向后回跳。下面以假设数据验证一下。

假设出球在球台上1至5跳摩擦力产生的负速度at依次为-0.7、-0.6、-0.5、-0.4、-0.3米，球水平向前的初速为v0=1米/秒，则该球会在第二跳向后回弹，因为v=1-0.7-0.6= -0.3（二次落台）。如果v0=0.5或2米/秒，则该球会在第一跳或第四跳向后回弹，因为v=0.5-0.7= -0.2（一次落台）、v=1-0.7-0.6-0.5-0.4= -0.2（四次落台）。

再用匀速直线运动公式计算球在弹跳在空中的前后水平位移Δx ，Δx = x2-x1= vt，所以，只要v小于零，则x2肯定小于x1，即球会向后回跳。

最后，为何大多数下旋球甚至强下旋球都只会向前弹跳而不会回跳呢？因为初始v0太大，下旋强度不足以产生足够大的向后摩擦力来使乒乓球向前的水平运动反向，即at项影响太小，不足以让v < 0。

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